1r ciclo [Movimiento circular] Hallar los radios de curvatura de la trayectoria de dos puntos.

[davidllerenav]

Hola, necesito ayuda con este problema:
Un cilindro rueda sin resbalamiento por un plano horizontal. El radio del cilindro es igual a $r$. Hallar los radios de curvatura de la trayectoria de los puntos A y B.

Lo primero que hice fue graficar el movimiento de la siguiente forma:
Posteriormente utilicé la fórmula del radio de curvatura $R=\frac{1}{C}=\frac{ds}{d\varphi}\Rightarrow ds=Rd\varphi \Rightarrow d\varphi=\frac{ds}{R}=\frac{vdt}{R}\Rightarrow \frac{d\varphi}{dt}=\frac{v}{R}=\omega$. Después de eso no se que hacer, intenté utilizar la fórmula de la aceleración angular $a_{n}=\frac{v^2}{R}=\omega^2 R$, dejé R, obteniendo $a_{nA}=\frac{v_A^2}{R_A}\Rightarrow R_A=\frac{v_A^2}{a_{nA}}=\frac{\omega^2R_A^2}{a_{nA}}$. ¿Qué debo hacer después? Por favor ayuda.

[Alriga]

Curvatura y radio de curvatura de una cicloide

Hola davidllerenav, bienvenido a La web de Física, por favor como nuevo miembro lee primero Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Es bien conocido que un punto cualquiera del perímetro de una rueda que gira sin deslizar describe una Cicloide

La ecuación de la cicloide correspondiente a una circunferencia de radio "r" que gira con velocidad angular "w" en paramétricas, (con parámetro = tiempo) es:

$$x(t)=r w t - r\sin w t$$

$$y(t)=r-r \cos w t$$

RESOLUCIÓN MEDIANTE GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Aplicando los conocimientos de geometría diferencial de curvas, la curvatura de una curva plana se calcula mediante:

$$\boxed{k=\dfrac{|\dot x \ddot y-\ddot x \dot y|}{\sqrt{\left ( \dot x^2+\dot y^2 \right )^3}}}$$

Derivando las ecuaciones paramétricas de la ciclode:

$\dot x=r w-r w \cos w t$

$\ddot x=r w^2 \sin w t$

$\dot y=r w \sin w t$

$\ddot y=r w^2 \cos w t$

Sustituyendo en (3) y simplificando, (la simplificación es bastante larga) se obtiene que la curvatura de la cicloide es:

$k=\dfrac 1{4 r \left | \sin\dfrac{w t}2} \right |$

El radio de curvatura de la cicloide es el inverso de la curvatura:

$R=4 r \left | \sin\dfrac{w t}2 \right |$

El punto "A" corresponde a $w t=\pi$ (Compruébalo, sustituye en (2) y verás como sale $y=2 r$) El radio de curvatura en el punto más alto es:

$R_A=4 r \left | \sin\dfrac{\pi}2 \right |=4 r$

El punto "B" corresponde a $w t=3\pi/2$ (Compruébalo, sustituye en (2) y verás como sale $y= r$) El radio de curvatura en ese punto:

$R_B=4 r \left | \sin\dfrac{3\pi}4 \right |=2\sqrt 2 \ r$

RESOLUCIÓN MEDIANTE CINEMÁTICA

El vector de posición

$\vec r=(rwt-r\sin wt) \ \hat i+(r-r\cos wt) \ \hat j$

La velocidad

$\vec v=\dfrac{d \vec r}{dt}=(rw-rw\cos wt) \ \hat i+rw\sin wt \ \hat j$

El módulo de la velocidad

$v=\sqrt{(rw-rw\cos wt)^2+r^2w^2 \sin^2 wt}$

$$v=2rw \left | \sin \dfrac{wt}2 \right |$$

La aceleración

$\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}=rw^2\sin wt \ \hat i+r w^2 \cos wt \ \hat j$

El módulo de la aceleración

$a=\sqrt{(rw^2\sin wt)^2+(r w^2 \cos wt)^2}$

$$a=rw^2$$

La aceleración tangencial

$a_t=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac d{dt} \Big ( 2rw \left | \sin \dfrac{wt}2 \right | \Big )$

$$a_t=\dfrac{rw^2\sin wt}{2\left | \sin \dfrac{w t}2 \right |}$$

Finalmente, la aceleración normal

$$a_n=\sqrt{a^2-a_t^2}$$

Y el radio de curvatura

$$R=\dfrac{v^2}{a_n}$$

Apliquemos (4), (5), (6), (7) y (8) a los dos puntos que nos piden

A) Punto “A”

$w\cdot t_A=\pi$

$v_A=2rw|1|=2rw$

$a_{t_A}=0$

$a_{n_A}=a_A=rw^2$

$R_A=\dfrac{4r^2w^2}{rw^2}=4r$

B) Punto “B”

$w\cdot t_B=3\pi / 2$

$v_B=2rw |\sin 3\pi /4 |=\sqrt 2 \ r w$

$a_{t_B}=\dfrac{rw^2 \sin 3\pi / 2}{2 | \sin 3\pi / 4 |}=-\dfrac{rw^2}{\sqrt 2}$

$a_{n_B}=\sqrt{r^2w^4-\dfrac{r^2w^4}2}=\dfrac{rw^2}{\sqrt 2}$

$R_B=\dfrac{2r^2w^2}{\dfrac{rw^2}{\sqrt 2}}=2\sqrt 2 \ r$

Saludos.