1r ciclo Teoría Movimiento Armónico Simple y Amortiguado

[eduardo66]

Hola amigos, teniendo la ecuación de una onda en Movimiento Armónico Simple:

$x(t)= A*cos(\omega t + \varphi)$

Entiendo perfectamente A representa la amplitud de onda, $\omega$ la frecuencia angular, $\varphi$ el desfase y $(\omega t + \varphi)$ la fase como tal.

Pero propiamente dicho, qué significa el término $\omega *t$, es acaso la porción de circunferencia recorrida en un instante de tiempo dado t

Segundo, en clases me dieron una magnitud conocida como $\omega '$ y que $\omega = \omega '$ cuando la amplitud sea la misma en todo momento, pero en caso de que no cómo calculo el valor de $\omega '$ ? Gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Teoría Movimiento Armónico Simple

... teniendo la ecuación de una onda en Movimiento Armónico Simple:

$x(t)= A*cos(\omega t + \varphi)$

Entiendo perfectamente A representa la amplitud de onda, $\omega$ la frecuencia angular, $\varphi$ el desfase y $(\omega t + \varphi)$ la fase como tal. Pero propiamente dicho, qué significa el término $\omega *t$ ...

Un movimiento armónico simple es equivalente a la proyección de un movimiento circular uniforme de velocidad angular $\omega$ sobre uno de los diámetros de la circunferencia.

Si "A" es el radio de la circunferencia, $\phi$ es el ángulo inicial en el instante inicial, entonces $\omega t$ es el ángulo adicional $\theta$ girado por el móvil en m.c.u. a partir de $\phi$

$x(\theta)=A\cos (\theta+\phi)$

$\theta=\omega t$

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$

Mira este vídeo en el que el que se ha considerado ángulo inicial en el que se empieza a contar el tiempo $\phi=0$

... Segundo, en clases me dieron una magnitud conocida como $\omega '$ y que $\omega = \omega '$ cuando la amplitud sea la misma en todo momento, pero en caso de que no cómo calculo el valor de $\omega '$ ?

Ese concepto de $\omega '$ supongo que te lo explicaron en el tema de oscilaciones amortiguadas. Primero recuerda que la ecuación diferencial del m.a.s. es

$$m\ddot x+k x=0$$

En la que la pulsación es:

$\omega=\sqrt{\dfrac k m}$

Y la solución de la ecuación diferencial es:

$$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$$

Y la ecuación diferencial del movimiento armónico amortiguado es:

$$m\ddot x+\gamma \dot x+k x=0$$

En donde $\gamma$ es el coeficiente de amortiguamiento. Se demuestra que la solución de esa ecuación diferencial cuando hay oscilaciones es:

$$x(t)=A_0 \cdot \exp \left ( -\dfrac{\gamma}{2m} \ t \right )\cdot \cos (\omega ' t+\phi_0)$$

En donde

$\omega '=\sqrt{\dfrac k m -\dfrac{\gamma^2}{4 m^2}}$

Por lo tanto:

$\omega '=\sqrt{\omega^2 -\dfrac{\gamma^2}{4 m^2}}$

Se ve claro que si no hay amortiguamiento, ( $\gamma=0$ ) entonces la amplitud es la misma en todo momento:

$A_0 \cdot \exp \left ( -\dfrac{\gamma}{2m} \ t \right )=A_0$

Y además

$\omega '=\omega$

Saludos.