Secundaria Rotación de cuerpos rígidos

[omarcity]

Estimados compañeros del foro ¿me pueden ayudar con este ejercicio?:

Supongamos que se lanza por una superficie horizontal una bola de bowling
($I = \displaystyle\frac{2}{5} mR^2$) de tal manera que se mueve inicialmente con una velocidad $V_0$ pero sin rotar.

A) Hallar la expresión de la velocidad del centro de masa de la bola justo en el instante en el
que comenzará a rodar sin resbalar.

NOTA: La transición del movimiento con deslizamiento al de
rodadura pura es gradual, de modo que durante ese lapso el cuerpo resbala y rueda.


No sé como empezar a plantearlo:

[JCB]

Re: Rotación de cuerpos rígidos

Hola a todos.

He llegado a las siguientes conclusiones, pero desearía opiniones de contrastado para reafirmarlas. En particular, sería muy interesante encontrar un método más rápido, pero a mí solo se me ha ocurrido este.

1) Dinámica de traslación:

$\sum{F_x}=ma_c$. Como la única fuerza horizontal que actúa es la de rozamiento,

$F_r=ma_c$,

$\mu mg=ma_c$,

$a_c=\mu g$. Luego:

$v_c=v_0-a_ct$,

$v_c=v_0-\mu gt$ (1).

2) Dinámica de rotación:

$\sum{M_c}=I_c \alpha$,

$F_rR=I_c\alpha$,

$\mu mgR=\dfrac{2}{5}mR^2 \alpha$,

$\alpha=\dfrac{5\mu g}{2R}$. Y también:

$\omega=\alpha t=\dfrac{5\mu g}{2R}t$ (2).

3) La velocidad del punto “P” de contacto con el suelo, se puede expresar (utilizando (2)):

$v_p=v_c-\omega R=v_c-\dfrac{5\mu g}{2R}tR=v_c-\dfrac{5\mu g}{2}t$.

Ahora bien, en el instante que empieza a rodar la bola, $v_p=0$:

$0=v_c-\dfrac{5\mu g}{2}t$,

$t=\dfrac{2v_c}{5\mu g}$ (3).

4) Finalmente, substituyendo (3) en (1):

$v_c=v_0-\mu g\dfrac{2v_c}{5\mu g}$,

$\dfrac{7}{5}v_c=v_0$,

$v_c=\dfrac{5}{7}v_0$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Rotación de cuerpos rígidos

Yo arribo a los mismos $\dfrac{5}{7}v_o$ por un proceso similar,

[omarcity]

Re: Rotación de cuerpos rígidos

Gracias por responder me surgen algunas dudas.

1) ¿Como puedo asegurar que en la parte donde hay solo traslación hay fuerza de roce?

2) ¿Si lo planteo por conservación de la energia me da un resultado distinto estaria mal hacerlo por allí?

$\Delta E = 0$
$E_i = E_f$
$K_i = K_{rf}$
$\frac{1}{2}mV_0^2 = \frac{1}{2}mV_{cm}^2 + \frac{1}{2}I_o \omega^2$
Sea $\frac{1}{2}I_o \omega^2 = \frac{1}{5}mR^2 \frac{V_{cm}^2}{R^2}$
$\frac{1}{2}mV_0^2 = \frac{1}{2}mV_{cm}^2 + \frac{1}{5}mR^2 \frac{V_{cm}^2}{R^2}$
$\frac{1}{2}V_0^2 = \frac{7}{10}V_{cm}^2$
$\frac{5}{7}V_0^2 = V_{cm}^2$
$\sqrt{\frac{5}{7}}V_0 = V_{cm}$

[Richard R Richard]

Re: Rotación de cuerpos rígidos

Hola omarcity, no has considerado el trabajo de la fuerza de rozamiento , por eso llegas a una velocidad mayor.

[JCB]

Re: Rotación de cuerpos rígidos

Hola a todos.

omarcity, mis respuestas a tus dos preguntas, son las siguientes:

1) si el plano horizontal no tuviese rozamiento, la bola seguiría deslizándose de forma permanente sin llegar a rodar (nunca se iniciaría el movimiento de rodadura). Es precisamente el rozamiento, la causa de que haya un cambio de deslizamiento a rodadura.

2) el balance energético que has planteado, es el más intuitivo y parece coherente a primera instancia, sin embargo tiene un error de concepto: la energía cinética no se conserva, pues la fuerza de rozamiento gasta una parte de la energía en conseguir que la bola empiece a rodar.

Saludos cordiales,
JCB.