Otras carreras Problema momento de un par

[wario0618]

Buenas veran tengo un problema sobre momento par y es el siguiente:

Un contenedor tiene cuatro fuerzas y un par aplicado a él (véase la figura). Calcule la fuerza resultante y el momento alrededor del origen; entonces calcule el punto en el que la fuerza resultante por sí sola producirá el efecto equivalente sobre el cuerpo rígido.



Yo realice a parte el dibujo para ubicar mejor las fuerzas que actúan y ubicar el origen



Bien donde esta ''O'' para mi es el origen y lo que e pensado para la primera parte es lo siguiente
Ubicar las fuerzas en el origen.

* Para F1 colocarla en O pero en dos sentidos una en dirección X y la otra en -X
* Para F2 colocarla en O pero con dos sentidos también, una con el mismo ángulo en el origen y otra con el ángulo inverso, la cual creo que estaría en el cuadrante 4

Y luego lo mismo para F3. Teniendo todas las fuerzas ahí , se cancelan las fuerzas que forman el par y solo haría una $\sum F$ claro con en sus componentes y luego buscar la resultante con la raíz de la suma del cuadrado de las componentes. (prácticamente tendría las mismas fuerzas que están en el dibujo pero en O dado que las de sentido contrario que agregue se van debido al par que forman)

Luego con las que formaron el Par, buscó su momento para cada una y hago $\sum M_o$, sin olvidar el momento que dan en el dibujo teniendo esto tendría la Fuerza y el par, luego con la fórmula M=dF busco la distancia desde el origen, como se ve que está en dos dimensiones la imagen pienso que el d para donde se tiene que mover la fuerza para que solo esa fuerza ejerza el mismo momento del par con respecto al origen debe de estar ubicada en el eje x y dependiendo de lo encontrado evaluar si estará en -X o + X

Espero puedan sacarme de esa duda y si es así pues proceder a elaborarla?

Añadiendo: Si es como yo pienso entonces cuando se esté buscando los momentos, los únicos que harán momentos con respecto al origen será F2 y F3 debido a que F1 y las componentes de F4 pasan por el origen y no generaron momentos?.
Tambien me gustaria saber, si los momentos perpendiculares al plano eso quiere decir que los momentos que encuentre con F2 y F3 serian o en dirección de -K o +K debido a que sería hacia dentro o hacia afuera del plano contenido el dibujo o la hija, cierto?

[Al2000]

Re: Problema momento de un par

Nota que las fuerzas están todas en el plano XY por lo cual todos los momentos estarán en el eje Z. Los cálculos que te están pidiendo son muy simples:

- Fuerza resultante: $\dst \boldsymbol F_R = \sum_{i=1}^4 \boldsymbol F_i$

- Momento resultante en O: $\dst \boldsymbol M_O = \boldsymbol M + \sum_{i=1}^4 \boldsymbol r_1 \times \boldsymbol F_i$

Para hallar el punto de ubicación de la fuerza resultante que produce el mismo momento en O, nota de nuevo que todos los momentos están en el eje Z y sólo tienes que resolver

$$\left(x,y,0\right) \times \left(F_{Rx}, F_{Ry}, 0 \right) = \boldsymbol M_O = M_O\, \boldsymbol k$$

$$\quad \Rightarrow \quad y\,F_{Rx} - x\,F_{Ry} = M_O$$

La ecuación resultante es la de una línea recta. La fuerza resultante, aplicada en un punto cualquiera de esta recta producirá el momento buscado en O.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

ERRATA: En la última ecuación, incorrectamente intercambié los términos de la resta. Debería decir $x\,F_{Ry} - y\,F_{Rx} = M_O$

[wario0618]

Re: Problema momento de un par

Nota que las fuerzas están todas en el plano XY por lo cual todos los momentos estarán en el eje Z. Los cálculos que te están pidiendo son muy simples:

- Fuerza resultante: $\dst \boldsymbol F_R = \sum_{i=1}^4 \boldsymbol F_i$

- Momento resultante en O: $\dst \boldsymbol M_O = \boldsymbol M + \sum_{i=1}^4 \boldsymbol r_1 \times \boldsymbol F_i$

Para hallar el punto de ubicación de la fuerza resultante que produce el mismo momento en O, nota de nuevo que todos los momentos están en el eje Z y sólo tienes que resolver

$$\left(x,y,0\right) \times \left(F_{Rx}, F_{Ry}, 0 \right) = \boldsymbol M_O = M_O\, \boldsymbol k$$

$$\quad \Rightarrow \quad y\,F_{Rx} - x\,F_{Ry} = M_O$$

La ecuación resultante es la de una línea recta. La fuerza resultante, aplicada en un punto cualquiera de esta recta producirá el momento buscado en O.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Bueno jeje eso fue lo que explique jeje creo. Pero bueno primero encontrando la resultante hice lo siguiente



Dado que coloque todas las Fuerzas en O que ubique en la imagen anterior (solo coloque las por ejemplo F1, F2 pero no las - F1 , -F2 debido que esas se van al momento de realizar el par)

Me quedo

$\sum X$

40+80cos30-60cos45

$F_x$ = 66.855 N


$\sum Y$

50+80sen30+60sen45

$F_y$ = 132.426 N

Con eso en contre la resultante

F=$\sqrt{(66.855)^2+(132.426)^2}$ = 148.345 N

Luego $\theta$ = $Tan^{-1} ( \dst\frac{132.426}{66.855 })$= 63.213

Luego los momentos solo son posibles para la fuerza 2 y para la fuerza 3

$M_2$ = 60cos45 (4) -60sen45(7) = -127.279 $\hat{k}$ N.m
$M_3$ = -50(5) -250$\hat{k}$ N.m

Dan un momento que es igual a C=$140 \hat{k}$N.m

Al hacer $\sum M_o$ = -127.279 -250 +140 = -237.279 $\hat{k}$ N.m (Siguiendo tu consejo y también lo que había pensando que los momentos estan en K)

Luego para encontrar la distancia d, M=Fd

-237.279 = 148.3d
d= - 1.5999 $\approx$ = -1.6 m

Ahora está bien esto, mi duda es porque si ven la imagen el origen está corrido en 1 m hacia arriba y no se si e tomado bien las distancias

[Richard R Richard]

Re: Problema momento de un par

Dan un momento que es igual a C=$140 \hat{k}$N.m

hola la dirección de C no esta en dirección $\vec k$ sino que la tienes que descomponer en las direcciones $\vec i$ y $\vec j$


fijate que que no obtuviste la recta de aplicación de la fuerza tal cual te lo explico al2000

[wario0618]

Re: Problema momento de un par

hola la dirección de C no esta en dirección $\vec k$ sino que la tienes que descomponer en las direcciones $\vec i$ y $\vec j$


fijate que que no obtuviste la recta de aplicación de la fuerza tal cual te lo explico al2000

Ok , entiendo entonces la obtención de la magnitud de la fuerza está mal? o mejor dicho todo lo que he desarrollado esta mal?.

Hasta qué punto para así corregirlo, porque yo recuerdo que según el teorema de varignon, la suma de los momentos en O es igual a la resultante del par no?

y como puedo descomponer ese momento en i y j porque yo veo que esta en K habría que asignarle un lambda?

[Al2000]

Re: Problema momento de un par

hola la dirección de C no esta en dirección $\vec k$ sino que la tienes que descomponer en las direcciones $\vec i$ y $\vec j$
...

Bueno, el dibujo no es muy correcto, pero yo entiendo también que el torque dado está en dirección +Z.

...
Luego para encontrar la distancia d, M=Fd

-237.279 = 148.3d
d= - 1.5999 $\approx$ = -1.6 m

Ahora está bien esto, mi duda es porque si ven la imagen el origen está corrido en 1 m hacia arriba y no se si e tomado bien las distancias

Mis cálculos de la fuerza y momento resultantes coinciden con los tuyos, pero el cálculo del punto de aplicación de la resultante no es correcto. No olvides el carácter vectorial del momento de una fuerza. La expresión "M=Fd" sólo es válida si estás considerando un caso es que la fuerza y el brazo de la fuerza son perpendiculares.

En otras palabras, si calculas "d" de la manera que lo estás haciendo obtendrías la distancia desde el origen hasta la línea de acción de la fuerza. Nota que es una distancia y no puede ser negativa. Tu error es que en "M=Fd" tanto "M" como "F" son módulos de vectores (y por tanto positivos).

Te remito de nuevo a mi mensaje previo. Una vez hechos los cálculos, deberías concluir que la fuerza resultante debe aplicarse en un punto cualquiera de la recta $(132.43\,\mathrm{N})\, x - (66.86\,\mathrm{N})\, y = -237.28\,\mathrm{N \, m}$. Si deseas decir que la fuerza se aplica en un punto determinado, dale a $x$ o a $y$ el valor que se te de la gana y calcula la otra coordenada.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[wario0618]

Re: Problema momento de un par

Bueno, el dibujo no es muy correcto, pero yo entiendo también que el torque dado está en dirección +Z.



Mis cálculos de la fuerza y momento resultantes coinciden con los tuyos, pero el cálculo del punto de aplicación de la resultante no es correcto. No olvides el carácter vectorial del momento de una fuerza. La expresión "M=Fd" sólo es válida si estás considerando un caso es que la fuerza y el brazo de la fuerza son perpendiculares.

En otras palabras, si calculas "d" de la manera que lo estás haciendo obtendrías la distancia desde el origen hasta la línea de acción de la fuerza. Nota que es una distancia y no puede ser negativa. Tu error es que en "M=Fd" tanto "M" como "F" son módulos de vectores (y por tanto positivos).

Te remito de nuevo a mi mensaje previo. Una vez hechos los cálculos, deberías concluir que la fuerza resultante debe aplicarse en un punto cualquiera de la recta $(132.43\,\mathrm{N})\, x - (66.86\,\mathrm{N})\, y = -273.28\,\mathrm{N \, m}$. Si deseas decir que la fuerza se aplica en un punto determinado, dale a $x$ o a $y$ el valor que se te de la gana y calcula la otra coordenada.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Gracias, jeje por poco lo logro hacer solo jejeje, muchas pero muchas gracias por la ayuda

[Richard R Richard]

Re: Problema momento de un par

Bueno, el dibujo no es muy correcto, pero yo entiendo también que el torque dado está en dirección +Z.

hola ahora presto atencion a que $C=140 Nm\vec k$ pero esta escrito $C=140\vec k Nm$ pense que eran la unidad "kilonewtons".... tienen razon disculpen las molestias, en el primero de los dos gráficos ahora lo veo claro, solo que no lo vi antes.

[wario0618]

Re: Problema momento de un par

Compañero Al2000 con respecto a

Te remito de nuevo a mi mensaje previo. Una vez hechos los cálculos, deberías concluir que la fuerza resultante debe aplicarse en un punto cualquiera de la recta . Si deseas decir que la fuerza se aplica en un punto determinado, dale a o a el valor que se te de la gana y calcula la otra coordenada.

Probe darle un valor a X=5 y el punto Y me dio 14 aproximado, es posible que de ese punto según dices que le ponga el valor que quiera? pues yo creo que no porque tendría que estar dentro de la caja

Ahora con lo que habías dicho la resultante de la fuerza esta contemplada en el plano xy con un ángulo respecto a x pero si el momento es en dirección -Z entonces literalmente están perpendicular entre si entonces porque no se puede hacer según lo que comente antes?

Luego para encontrar la distancia d, M=Fd

-237.279 = 148.3d
d= - 1.5999 = -1.6 m

Ahora está bien esto, mi duda es porque si ven la imagen el origen está corrido en 1 m hacia arriba y no se si e tomado bien las distancias

Busque las respuestas en el solucionario y eran las siguientes



Mo = -237.28 $\hat{k}$ N.m
R= 66.86 i + 132.43j
$r_{ro}=-1.43i+0.721j$ m

Perdón por lo de antes

[Al2000]

Re: Problema momento de un par

No olvides que es un modelo, no la realidad. No existe una sola fuerza, sino varias. Reducir el problema a una sola fuerza equivalente es una conveniencia matemática para resolverlo con mayor facilidad, Por ejemplo, se acepta que un cuerpo se comporta como si su peso estuviese aplicado en el centro de gravedad, pero entonces ¿cómo queda el caso de un anillo? Si el anillo es homogéneo y se encuentra en un campo uniforme, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico del anillo donde no hay nada

De todas formas, si te incomoda que la fuerza equivalente esté aplicada en un punto que no pertenece al cuerpo, ¿por qué haces tu cálculo usando un valor de $x$ que cae claramente fuera del cuerpo? Usa $x = 0$, por ejemplo y obtén que $y = 3.55\,\mathrm{m}$ que cae en el cuerpo como deseas.

Todo eso es irrelevante. Si deseas lucirte, determina la recta de acción de la fuerza y responde que la fuerza actúa a lo largo de esa línea, y añade como ejemplo un punto sobre esa línea y que pertenezca al cuerpo si quieres deslumbrar a tu profesor

Respecto a tu último comentario... No me refería a perpendicularidad entre la fuerza y el momento (que por definición siempre serán perpendiculares) sino a perpendicularidad entre la fuerza y el vector posición del punto de aplicación de la fuerza.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[wario0618]

Re: Problema momento de un par

Ok entiendo AL2000 es que yo lo decia porque en el libro estas son las respuestas que dan

Mo = -237.28 N.m
R= 66.86 i + 132.43j
m

Entonces ese r, al hacer x=0 pues buscando ese r con coordenadas de llegada menos las de salida no dan, desde el origen claro .

[JCB]

Re: Problema momento de un par

Hola a todos.

El cálculo de la fuerza resultante en X y en Y, es sencillo, llegando a los valores $R_x=66,86 N$ y $R_y=132,43 N$. También se llega fácilmente al momento alrededor del origen $M_z=-237,28 Nm$.

Después, se llega a la conclusión que la fuerza resultante es un vector deslizante, pues no tiene punto de aplicación definido (la solución es una recta), aunque para que el problema tenga sentido físico, el punto de aplicación debe estar, lógicamente, sobre el contenedor (todo esto dicho por Al2000).

wario0618: la distancia d=1,60 m, es la magnitud del segmento perpendicular a la recta cuyo otro extremo es el origen de coordenadas, y es correcta, aunque como también dice Al2000, no tiene signo.

Por último, fíjate que el solucionario da las coordenadas del punto del segmento sobre la recta, pues: $\sqrt{(-1,43)^2+0,721^2}=1,60 m$.

Saludos cordiales,
JCB.

[wario0618]

Re: Problema momento de un par

Por último, fíjate que el solucionario da las coordenadas del punto del segmento sobre la recta, pues:

Bueno buscando en un libro, en efecto tengo que sacar la línea de acción vi un tema que como para las fuerzas son coplanares entonces entre F resultante y M, son perpendiculares entonces se puede sacar mediante esta ecuación.

$r=\dst\frac{RXM}{R.R }$ donde R es la fuerza resultante entonces me queda

$r=\dst\frac{-31421.9 i -15863.4j}{22006.3 }$ =$-1.42786 i - 0.720857$

[Al2000]

Re: Problema momento de un par

Me acabo de dar cuenta, al verificar que el vector dado en el solucionario pertenezca a la línea de acción de la fuerza, que al tipear el momento intercambié dos dígitos y donde dice -273.28 N m debe decir -237.28 N m. Lo corrijo en el mensaje viejo y me disculpo por cualquier confusión causada.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO PARA AÑADIR ALGUNOS COMENTARIOS

La ecuación que añades en tu edición última se puede obtener sin mucha dificultad. Es bueno saber de donde salen las fórmulas que uno utiliza (así como sus limitaciones y ámbito de validez) y no aplicarlas como si fuésemos unos autómatas.

Como planteé desde mi primer mensaje, la idea de hallar la fuerza equivalente (mismos efectos de traslación y de rotación) implica determinar la fuerza resultante, $\dst \boldsymbol R = \sum_i \boldsymbol F_i$, el momento resultante de estas fuerzas respecto de un punto deseado, $\dst \boldsymbol M = \sum_i \left(\boldsymbol r_i \times \boldsymbol F_i\right)$ y el punto de aplicación de la resultante que produzca el mismo momento en el punto deseado. En otras palabras, necesitamos hallar el valor de $\boldsymbol r$ que satisfaga la ecuación

$$\boldsymbol r \times \boldsymbol R = \boldsymbol M$$

Dados los valores de $\boldsymbol R$ y $\boldsymbol M$, hay infinitos valores de $\boldsymbol r$ que satisfacen la ecuación anterior. Sin pérdida de generalidad podemos elegir el plano XY como el plano que contiene las fuerzas y el eje Z como el eje de los momentos, escribiendo la ecuación (1) como

$$(x,y,0) \times (R_x,R_y,0) = (0,0,M)$$

y resolver para obtener la expresión

$$R_y \, x - R_x \, y = M$$

la cual es la ecuación de una línea recta, que podemos llamar la línea de acción de $\boldsymbol R$. La fuerza $\boldsymbol R$, aplicada en cualquier punto de esa recta, producirá el momento $\boldsymbol M$ en el punto deseado.

¿Qué pasa si deseamos elegir el punto sobre esa recta que se encuentre a la mínima distancia del origen? Pues simplemente debemos resolver simultáneamente otra ecuación, que establezca la condición apropiada. Resulta muy simple establecer esa condición si reparamos en que el vector de mínima longitud será en consecuencia perpendicular a la línea de acción de $\boldsymbol R$. Entonces nuestra condición será

$$\boldsymbol {r \cdot R} = 0$$

que escrita en componentes en nuestra referencia elegida es

$$(x,y,0) \boldsymbol \cdot (R_x,R_y,0) = 0$$

es decir

$$R_x \, x + R_y \, y = 0$$

Si se resuelven simultáneamente las ecuaciones (3) y (6), se encontrará la posición sobre la línea de acción de la fuerza resultante cuya distancia al origen es mínima.

Otra forma de hacerlo, menos elaborada y más mecánica, es utilizar el álgebra vectorial para jugar un poco con la ecuación (1). Si multiplicamos vectorialmente por $\boldsymbol R$ ambos miembros, tenemos

$$\boldsymbol R \times (\boldsymbol r \times \boldsymbol R) = \boldsymbol R \times \boldsymbol M$$

Recordando la fórmula del álgebra vectorial $\boldsymbol A \times (\boldsymbol B \times \boldsymbol C) = (\boldsymbol {A \cdot C})\, \boldsymbol B - (\boldsymbol {A \cdot B})\, \boldsymbol C$, tenemos que

$$(\boldsymbol {R \cdot R})\, \boldsymbol r - (\underbrace {\boldsymbol {R \cdot r}}_0)\, \boldsymbol R = \boldsymbol R \times \boldsymbol M$$

de donde se obtiene finalmente que

$$\boxed {\boldsymbol r = \frac {\boldsymbol R \times \boldsymbol M}{\boldsymbol {R \cdot R}}}$$