1r ciclo Problema de dos poleas con dos muelles

[Anto]

Hola, buenas tardes. ¿Me podríais ayudar con este ejercicio, por favor?

Nos piden calcular la frecuencia del siguiente sistema. Se nos indica que las poleas tienen masas despreciables y no presentan fricción.



Para resolver el ejercicio, lo primero que estoy haciendo es simplificar el sistema, es decir, sustituir los dos muelles por uno. De esta forma tenemos que $\frac{1}{{K}_{eq}} = \frac{1}{{K}_{1}} + \frac{1}{{K}_{2}}$.

También sabemos que el Peso = M * g = Tensión de la cuerda (T)

Dónde estoy teniendo problemas es a la hora de avanzar y tratar de sacar la ecuación del movimiento. ¿ Me podríais ayudar por favor ?

Gracias de antemano y un saludo.

[Alriga]

Re: Problema de dos poleas con dos muelles

Hola, buenas tardes. ¿Me podríais ayudar con este ejercicio, por favor?

Nos piden calcular la frecuencia del siguiente sistema

[ATTACH=CONFIG]14238[/ATTACH]

Para resolver el ejercicio, lo primero que estoy haciendo es simplificar el sistema, es decir, sustituir los dos muelles por uno. De esta forma tenemos que Keq = \frac{1}{{K}_{1}} + \frac{1}{{K}_{2}}.

También sabemos que el Peso = M * g = Tensión de la cruerda (T)

Dónde estoy teniendo problemas es a la hora de avanzar y tratar de sacar la ecuación del movimiento. ¿ Me podríais ayudar por favor ?

Gracias de antemano y un saludo.

Hola Anto,

* en primer lugar, cuando utilices LaTeX recuerda poner la expresión matemática en medio de los corchetes [TEX]Keq = \frac{1}{{K}_{1}} + \frac{1}{{K}_{2}}[/TEX] para que se vea así:

$Keq = \frac{1}{{K}_{1}} + \frac{1}{{K}_{2}}$

* En 2ª lugar observa que la expresión que has puesto no es posible, pues si las unidades de las "K" son "fuerza / distancia" no es dimensionalmente correcta, supongo que lo que pretendías escribir es:

$\dfrac 1{K_{eq}}=\dfrac 1{K_1}+\dfrac 1{K_2}$

* Y en 3er lugar, piensa que si no planteas el enunciado muy claro es difícil que recibas buenas respuestas. ¿Cuales son los datos? ¿se desprecia la masa de la cuerda? ¿hay que considerar la masa y el momento de inercia de las poleas o no? etc ... Difícilmente alguien se va remangar a resolver un problema que no se ve claro en el enunciado arriesgándose a que después el autor del hilo le diga: "no, perdona no es así, había que tener en cuenta 'no se qué' que se me olvidó al poner el enunciado"

Saludos.

[Anto]

Re: Problema de una polea con dos muelles

Disculpa el error, hacía mucho tiempo que no utilizaba LaTex. Y efectivamente, se me había olvidado indicar que era $\frac{1}{{K}_{eq}}$

En el enunciado pone una nota la cual dice que las poleas tienen masas despreciables y no presentan fricción. Se me había pasado poner la nota, lo siento.

He editado el mensaje inicial para que se pueda ver más fácil. Gracias

[Alriga]

Re: Problema de dos poleas con dos muelles

En equilibrio, para el cuerpo de masa M:

$T=Mg$

En la polea 1 en equilibrio, (alargamiento del muelle 1 una longitud x1 = desplazamiento del centro de la polea x1 hacia arriba):

$k_1 x_1=2T=2 Mg$

$x_1=\dfrac{2Mg}{k_1}$

En la polea 2 en equilibrio (alargamiento del muelle 2 una longitud x2 = desplazamiento del centro de la polea x2 hacia abajo):

$k_2 x_2=2T=2 Mg$

$x_2=\dfrac{2Mg}{k_2}$

Si en equilibrio la polea 1 está desplazada hacia arriba x1 y la polea 2 está desplazada hacia abajo x2 eso significa que como la cuerda es inextensible, la Masa M queda desplazada hacia abajo 2·x1 + 2·x2, (ver post#6 del hilo):

$x=2x_1+2x_2=2 \ \dfrac{2Mg}{k_1}+2 \ \dfrac{2Mg}{k_2}=4Mg \left ( \dfrac1{k_1}+\dfrac 1{k_2}\right )$

Podemos considerar pues que la masa M equilibra su peso mediante un único muelle de constante equivalente:

$Mg=k_{eq} x$

$Mg=k_{eq} \ 4Mg \left ( \dfrac1{k_1}+\dfrac 1{k_2}\right )$

Despejando:

$$k_{eq}=\dfrac{k_1 k_2}{4(k_1+k_2)}$$

La 2ª Ley de Newton para una partícula de masa M sometida a la fuerza única de un muelle es:

$M \ddot x=-k_{eq} x$

$M \ddot x+k_{eq}x=0$

Esta ecuación diferencial es la de un movimiento armónico simple de pulsación:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k_{eq}}M}$

Sustituye $k_{eq}$ por el valor de (1) y ya está. Finalmente la frecuencia:

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}$

$f=\dfrac 1{2\pi} \cdot \sqrt{\dfrac{k_1 k_2}{4M(k_1+k_2)}}$

Saludos.

[JCB]

Re: Problema de dos poleas con dos muelles

Disculpa Alriga.

A mí, la distancia que desciende la masa M, me da $2x_1+x_2$.



La longitud inicial de la cuerda es $L=l_1+l_2+l_3+l_4+l_5$.

La longitud final de la cuerda, es la misma, $L=(l_1-x_1)+l_2+(l_3-x_1-x_2)+l_4+l_5'$.

Igualando, se llega a que $l_5'-l_5=2x_1+x_2$ (después de la autocorrección, esta expresión sigue siendo válida).

Atención, me autocorrijo porque no estaba usando una referencia adecuada:

Distancia al “techo” inicial de la masa M: $l_1-l_3+l_5$.

Distancia al “techo” final de la masa M: $(l_1-x_1)-(l_3-x_1-x_2)+l_5'=l_1-l_3+l_5+2x_1+2x_2$.

O sea, que lo que baja la masa M es $2x_1+2x_2$, tal y como tú dices, Alriga.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Re: Problema de dos poleas con dos muelles

... O sea, que lo que baja la masa M es $2x_1+2x_2$ ...

Yo lo pensé así, dado que la cuerda es inextensible:

a) Si P2 está fija y el centro de la polea P1 asciende una distancia x1 entonces la masa M desciende obviamente una distancia $x_a=2 x_1$

b) Si P1 está fija y el centro de la polea P2 desciende una distancia x2 entonces la masa M desciende, también obviamente, una distancia $x_b=2 x_2$

Aplicando el teorema de superposición, $x=x_a+x_b=2x_1+2x_2$

Saludos.