Secundaria Tiempo minimo ejercicio cinematica

[Niaar]

Buenas! Tengo una duda con un ejercicio que en teoria es facil, pero no logro sacarlo. Dice así:

Si $a$ y $b$ son la máxima aceleración y la máxima desaceleración que puede alcanzar un tren, demuestra que el mínimo tiempo que necesita para recorrer una distancia $d$, comenzando y acabando en reposo, es

${\left( \frac{2d(a+b)}{ab} \right ) }^{1/2}$

Si alguien me diese una pista... Gracias!

[Al2000]

Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

¿No te provoca hacerlo gráficamente? En una gráfica de rapidez contra tiempo, tendrías una recta que parte del origen con pendiente "a" seguida por una recta de pendiente "b" hasta v=0. La base del triángulo formado es el tiempo empleado mientras que el área encerrada por el triángulo es la distancia recorrida.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Niaar]

Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

Perfecto, gracias!

No sé por qué, pero me habia obcecado en hacerlo analíticamente, buscando las ecuaciones y no encontraba la manera correcta de plantearlo. Gracias de nuevo

[JCB]

Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

Hola a todos.

Analíticamente, he planteado lo siguiente, aunque como no tengo la certeza de su fiabilidad, desearía leer vuestros comentarios:

En el primer tramo (aceleración): $v_{max}=at_1$.

En el segundo tramo (deceleración): $v_{final}=v_{max}-bt_2=at_1-bt_2=0, t_2=\dfrac{a}{b}t_1$ (1).

Por otra parte, como la velocidad media, tanto en el tramo de aceleración como en el de deceleración, es $at_1$:

$d=at_1t_1+at_1t_2$ (2). Substituyendo (1) en (2):

$d=at_1^2+\dfrac{a^2}{b}t_1^2$, de donde se obtiene $t_1=\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}$.

$t=t_1+t_2=\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}$ (expresión muy poco elegante, la verdad).

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

El tiempo empleado en el recorrido es

$$t =\frac {v_{max}} a + \frac {v_{max}} b = v_{max}\frac {a + b}{a b}$$

y para hallar $v_{max}$ lo puedes hacer usando la velocidad media:

$$\bar v = \frac d t = \frac 1 2 v_{max}$$

Poniendo todo junto

$$t = v_{max} \frac {a + b}{a b} = \frac {2 d} t \frac {a + b}{a b} \quad \Rightarrow \quad \boxed {t = \sqrt {\frac {2 d (a + b)}{a b}}}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

Quedo muy agradecido, Al2000, por hacer el desarrollo que conduce a la expresión del enunciado. Me has hecho ver que he cometido un gazapo de campeonato: la velocidad media, evidentemente, no es $at_1$, sino $\dfrac{at_1}{2}$. De esta manera, hubiese llegado a la expresión, todavía menos elegante, pero correcta numéricamente:

$t=t_1+t_2=\sqrt{\dfrac{d}{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a^2}{2b}}}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{d}{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a^2}{2b}}}=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\sqrt{\dfrac{d}{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a^2}{2b}}}$.

Saludos cordiales,
JCB.