Secundaria Cálculo de la frecuencia fundamental.

[Caylus]

Hola, no se como resolver el siguiente ejercicio:

Dos sonidos, cuyas frecuencias son 300 Hz y 425 Hz, son armónicos de la misma frecuencia fundamental. Calcula: a) La frecuencia fundamental b) El orden de estos armónicos.

Muchas gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Cálculo de la frecuencia fundamental.

Como se trata de que cada una de las frecuencias del enunciado sea un múltiplo entero de una dada, $f_0$, es decir, $f_1=nf_0$ y $f_2=mf_0$, podemos dividir miembro a miembro, resultando que $\frac{n}{m}=1,416666...$. Ahora hay que buscar que cociente entre enteros es ese resultado. Esa ristra de 6 anima a multiplicar por 3, de manera que $3\frac{n}{m}=4,25$. Ahora lo tenemos más fácil: multiplicamos por 4: $12\frac{n}{m}=17$. De este modo, $\frac{n}{m}=\frac{17}{12}$

Lo que sucede es que no tenemos (y el ejercicio no tiene) una solución única. Si llamo $k$ a un número natural arbitrario tengo que las soluciones son $n=17 k$ y $m=12 k$. De manera que la frecuencia fundamental que obtengo es $\dfrac{300\ {\rm Hz}}{12 k}$. Es decir, puede ser 25 Hz, 12.5 Hz, 8.33 Hz, 6.25 Hz...

[Alriga]

Re: Cálculo de la frecuencia fundamental.

resultando que $\frac{n}{m}=1,416666...$. Ahora hay que buscar que cociente entre enteros es ese resultado ...

Solo aportar a la excelente explicación de arivasm, que como:

$\dfrac n m=\dfrac{425}{300}=1.416666 \ ...$

Recordar que la vía sistemática más sencilla para buscar "n" y "m" es hallar la fracción irreducible de 425/300 descomponiendo numerador y denominador en factores primos:

$425=5^2\cdot 17$

$300=2^2\cdot 3\cdot 5^2$

Por lo tanto:

$\dfrac{425}{300}=\dfrac{\cancel{5^2}\cdot 17}{2^2\cdot 3\cdot \cancel{5^2}}=\dfrac{17}{12}$

Saludos.

[arivasm]

Re: Cálculo de la frecuencia fundamental.

Como bien sabe mi amigo Alriga, soy un tiquismiquis.

Recordar que la vía sistemática más sencilla para buscar "n" y "m" es hallar la fracción irreducible de 425/300 descomponiendo numerador y denominador en factores primos

Siempre y cuando ambas frecuencias sean enteros (lo que sucederá en un sistema de unidades concreto, pero no en todos), aunque ciertamente siempre es posible multiplicarlas por la potencia de 10 adecuada como para volver su cociente como uno de tales, salvo que nos pongamos con un caso teórico en el que la precisión sea infinita.

Y hablando de esto último, confieso que este tipo de ejercicio siempre me retuerce un poco la tripa: omite algo esencial que es que toda medida está acompañada de un error, por lo que a la colección infinita de posibles soluciones que sale en sí misma habría que añadirle (y la verdad es que a bote pronto, no se me ocurre cómo hacerlo) la plétora que resultará de tener en cuenta eso.

Es decir, ¿cómo sería la solución al ejercicio si su enunciado fuese el siguiente?

Dos sonidos, cuyas frecuencias son $300\pm 3\ \rm Hz$ y $425\pm 4\ \rm Hz$, son armónicos de la misma frecuencia fundamental. Calcula: a) La frecuencia fundamental b) El orden de estos armónicos.

[Caylus]

Re: Cálculo de la frecuencia fundamental.

Como se trata de que cada una de las frecuencias del enunciado sea un múltiplo entero de una dada, $f_0$, es decir, $f_1=nf_0$ y $f_2=mf_0$, podemos dividir miembro a miembro, resultando que $\frac{n}{m}=1,416666...$. Ahora hay que buscar que cociente entre enteros es ese resultado. Esa ristra de 6 anima a multiplicar por 3, de manera que $3\frac{n}{m}=4,25$. Ahora lo tenemos más fácil: multiplicamos por 4: $12\frac{n}{m}=17$. De este modo, $\frac{n}{m}=\frac{17}{12}$

Lo que sucede es que no tenemos (y el ejercicio no tiene) una solución única. Si llamo $k$ a un número natural arbitrario tengo que las soluciones son $n=17 k$ y $m=12 k$. De manera que la frecuencia fundamental que obtengo es $\dfrac{300\ {\rm Hz}}{12 k}$. Es decir, puede ser 25 Hz, 12.5 Hz, 8.33 Hz, 6.25 Hz...

Muchas gracias.