Otras carreras movimiento parabólico: hallar el ángulo de lanzamiento

[dipolo]

[FONT=Times New Roman]Un hombre está a 60 pies de un muro y lanza una pelota hacia éste con una rapidez de 50 pies/s. Determine el ángulo Θ en el que deberá arrojar la pelota de modo que ésta toque el muro en el punto más elevado posible. ¿Cuál es la altura de dicho punto? La habitación tiene el techo a una altura de 20 pies.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]http://i33.tinypic.com/35mmvds.jpg[/FONT]


[FONT=Times New Roman]No logro resolver este problema, me he quedado hasta la mitad y no sé cómo seguir. Lo que he hecho hasta ahora y que podría estar bien os lo paso, el resto no lo copio porque no está bien.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Aquí mi intento:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Consideramos que la fricción con el aire es despreciable. [/FONT][FONT=Times New Roman]Asignaremos el valor 0 al tiempo inicial:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]t = 0[/FONT]
[FONT=Times New Roman].º[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Esto se hace así para que las ecuaciones del movimiento sean más sencillas.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Se trata de un movimiento bajo la acción exclusiva de la gravedad y por lo tanto podemos verlo como un movimiento con aceleración constante. La ecuación del vector desplazamiento (en función del tiempo) es:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]→ . → . . . . . . . . →[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Δr = Vo Δt + (½) a (Δt)² .......... [/FONT][FONT=MS Mincho]❶[/FONT]

[FONT=Times New Roman]El vector de posición inicial es[/FONT]

[FONT=Times New Roman]→[/FONT]
[FONT=Times New Roman]r . = 0 .......... [/FONT][FONT=MS Mincho]❷[/FONT]
[FONT=Times New Roman].º[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Las componentes del vector velocidad inicial son:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Vo = 50 (cos θ) [/FONT]
[FONT=Times New Roman]. . x[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Vo = 50 (sin θ) [/FONT]
[FONT=Times New Roman]. . y[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Por lo tanto, el vector velocidad inicial es:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]→ . . . . . . . . . → . . . . . . . . → [/FONT]
[FONT=Times New Roman]V = 50 (cos θ) i + 50 (sin θ) j .......... [/FONT][FONT=MS Mincho]❸[/FONT]
[FONT=Times New Roman].o[/FONT]

[FONT=Times New Roman]La aceleración es la de la gravedad, de módulo 9,8 m/s², dirección vertical y sentido hacia abajo (negativo, ya que hemos elegido el sentido hacia arriba positivo):[/FONT]

[FONT=Times New Roman]→ . . . . .→[/FONT]
[FONT=Times New Roman]a = – 9,8 j (m/s²) .......... [/FONT][FONT=MS Mincho]❹[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Sustituyendo en la ecuación [/FONT][FONT=MS Mincho]❶[/FONT][FONT=Times New Roman] los valores de [/FONT][FONT=MS Mincho]❷[/FONT][FONT=Times New Roman],[/FONT][FONT=MS Mincho]❸[/FONT][FONT=Times New Roman], [/FONT][FONT=MS Mincho]❹[/FONT][FONT=Times New Roman] con tiempo inicial = 0, obtenemos:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]→.→ . . . . . . . . →. . . . . . . . . .→ . . . → [/FONT]
[FONT=Times New Roman]r – 0 = 50(cos θ)t i +50(sin θ)t j– 4,9t² j [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Despejando el vector de posición resulta:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]→ . . . . . . . →. . . . . . . . . . . . . . . → [/FONT]
[FONT=Times New Roman]r = 50(cosθ)t i +[50(sinθ)t– 4,9 t²] j .......... [/FONT][FONT=MS Mincho]❺[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Las componentes de este vector son:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]x = 50 (cosθ) t [/FONT]

[FONT=Times New Roman]y = 50 (sinθ) t – 4,9 t²[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Bien, la x es igual a 50 (cosθ) t, pero también a 60 pies (enunciado del problema). Luego:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]50 (cosθ) t = 60[/FONT]

[FONT=Times New Roman]5 (cosθ) t = 6[/FONT]

[FONT=Times New Roman]t = 6 / (5 cosθ) .............(6)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Sustituyendo en y = 50 (sinθ) t – 4,9 t² resultará:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]y = 60 tg θ – (7,056 / cos² θ )[/FONT]

[FONT=Times New Roman]y = – 7,056 (tg θ)² + 60 (tg θ) – 7,056[/FONT]

[FONT=Times New Roman]No sé cómo seguir y ni estoy seguro de que esta parte esté bien.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Muchas gracias. Salud.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]..................................[/FONT]

[BigMess]

Re: movimiento parabólico: hallar el ángulo de lanzamiento

Yo creo que lo que has hecho está bien (por lo menos yo hubiese hecho lo mismo ). Puedes probar a sustituir la y por 20 ya que te dan ese dato que tendrá que servir para algo y además es la altura máxima que puede alcanzar no? O dibujar la gráfica de esa función de y en funcion del ángulo a ver cuando es máximo. Eso es lo que se me ocurre a mí a simple vista...

[dipolo]

Re: movimiento parabólico: hallar el ángulo de lanzamiento

Gracias, BigMess,

pero ya hice la sustitución y la solución no satisface a la vez la distancia de 60 y altura de 20.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: movimiento parabólico: hallar el ángulo de lanzamiento

Trata de nuevo, pero esta vez no uses $\displaystyle g= 9.8 \frac{m}{s^2}$ expresa $g$ en $\displaystyle \frac{pies}{s^2}$

[Fastolfe]

mi vision del problema

[FONT=Times New Roman]Hola, el problema lo puedes resolver de la siguiente manera:

[/FONT]

$$y_{pared}=v_{oy}\cdot t-\frac{g\cdot t^2}{2}$$

$$t=\frac{x}{v_{ox}}$$

Reemplazando (2) en (1) tenemos:

$$\displaystyle y_{pared}=v_{oy}\cdot\left(\frac{x}{v_{ox}}\right)-\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{x}{v_{ox}}\right)^2$$

Tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

• $\displaystyle\frac{v_{oy}}{v_{ox}}=tan\theta$

• $v_{ox}=v_o\cdot cos\theta$

• $\displaystyle\frac{1}{cos^2\theta}=1+tan^2\theta$

Tomando estas consideraciones y simplificando en (3) queda:

$$\displaystyle g\cdot x^2\cdot tan^2\theta-2x\cdot v_o^2\cdot tan\theta+(2y\cdot v_o^2+g\cdot x^2)=0$$

La cual es simplemente una ecuación de segundo grado con soluciones:

$$\displaystyle tan\theta=\frac{2x\cdot v_o^2\pm\sqrt{(2x\cdot v_o^2)^2-4g\cdot x^2\cdot (2y\cdot v_o^2+g\cdot x^2)}}{g\cdot x^2}$$

Esta ultima expresión nos puede proporcionar la altura máxima a la cual llegara la pelota, solo mirando la raíz, se puede sacar como conclusión que $y$ no puede ser mayor que un cierto valor para poder asegurar una respuesta real, por lo tanto, lo unico que queda es que la raiz sea nula:

$$\displaystyle\sqrt{(2x\cdot v_o^2)^2-4g\cdot x^2\cdot (2y\cdot v_o^2+g\cdot x^2)}=0\longrightarrow y_{max}=\frac{v_o^4-(g\cdot x)^2}{2g\cdot v_o^2}$$

$$\displaystyle tan\theta=\frac{2\cdot v_o^2}{g\cdot x}$$

Ya con esto último, termina el ejercicio, ya que fue encontrada la máxima altura de choque en la pared (15,64pies)y el angulo en que debe ser lanzada la bola(68,87º).

Sin mas que agregar, me despido.