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[Visitante]

"El coeficiente de rozamiento estático entre bloques y las superficies de la figura es 0.3. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0.25. La polea es ideal. a)estará el sistema en equilibrio? b) si se mueve, en que dirección lo hará? c) si se intercambiaran las masas, pueden permanecer en reposo? justifique analizando el rango de valores posibles de la fuerza de rozamiento estática."
Hola, alguien me podria ayudar con el punto C?, planteando las sumatorias de fuerzas para ambos cuerpos y eliminando variables llege a m1=m2 = 0 para que este en reposo, pero eso no tiene sentido, ademas que no me sale justificar con el rango de valores que pide en el punto. Saludos y gracias de ante mano

[JCB]

Re: sistema en equilibrio

Hola ivaance.

c) Yo lo plantearía, calculando la tensión que provoca cada masa en la cuerda. Para ello es conveniente elegir un eje de referencia paralelo al plano inclinado.

$F_{e1}=m_1gsen30^{\circ}-\mu_em_1gcos30^{\circ}=m_1g(sen30^{\circ}-\mu_ecos30^{\circ})=4,71 N$.

$F_{e2}= m_2gsen60^{\circ}-\mu_em_2gcos60^{\circ}=m_2g(sen60^{\circ}-\mu_ecos60^{\circ})=7,02 N$.

Como $F_{e2}>F_{e1}$, el sistema no estaría en equilibrio estático, y tendría lugar un desplazamiento de las masas hacia la derecha, igual que en el caso b).

Por otra parte, para que hubiese equilibrio estático, se llegaría a la expresión siguiente:

$\mu_e=\dfrac{m_2\sqrt{3}-m_1}{m_2-m_1\sqrt{3}}=0,11$.

Aunque no sé si esta es exactamente la finalidad del ejercicio.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: sistema en equilibrio

Hola , JCB, cuando planteas la dirección de la fuerza de rozamiento, recuerda que siempre se opone al posible movimiento, en un lado asciende y en el otro desciende, tal cual has puesto los signos, los rozamientos tienen direcciones contrarias entre si. Debes escoger una dirección de movimiento hacia la izquierda o la derecha , y en función de eso escoger el signo en la sumatoria de fuerzas, y en caso de resultar un valor negativo , significara que el sistema se mueve exactamente al contrario como lo haz supuesto.

Por ejemplo si se mueve hacia la izquierda

$F_{e1}=m_1gsen30^{\circ}-\mu_em_1gcos30^{\circ}=m_1g(sen30^{\circ}-\mu_ecos30^{\circ})=$.

$F_{e2}= m_2gsen60^{\circ}+\mu_em_2gcos60^{\circ}=m_2g(sen60^{\circ}+\mu_ecos60^{\circ})$.


Pero en realidad que $F_{e2}>F_{e1}$, no te dice que el sistema quede estático .

Pero si

$m_1gsen30^{\circ}-m_2gsen60^{\circ}>\mu_em_1gcos30^{\circ}+\mu_em_2gcos60^{\circ}$

es decir la diferencia de las componentes del peso debe ser mayor que la suma de los rozamientos para que el sistema se mueva, exactamente igual para que sea inestable, y menor para que sea estable.

[Visitante]

Re: sistema en equilibrio

no comprendo, entonces como puedo analizar si el sistema permanece en reposo a partir del intercambio de las masas con un intervalo de valores para la fuerza de rozamiento estatica?

[Richard R Richard]

Re: sistema en equilibrio

Hola la condición de estabilidad, debería darse o no cuándo reemplaces el valor de $m_1$ por el de $m_2$ y viceversa.
El rango de valores lo sacas haciendo $m_1$ fijo y calculando cuales son los valores de $m_2$ , que hacen inestable el sistema, tanto deslizando hacia la izquierda como la derecha, entre medio de esos valores de $m_2$ el sistema es estable. Puedes proceder del mismo modo para $m_2$ o bien despejar $m_1$ de esas mismas formulas.

$$m_1gsen30^{\circ}-m_2gsen60^{\circ}=\mu_em_1gcos30^{\circ}+\mu_em_2gcos60^{\circ}$$

$$m_1gsen30^{\circ}-m_2gsen60^{\circ}=-\mu_em_1gcos30^{\circ}-\mu_em_2gcos60^{\circ}$$

Recuerda que debes invertir los valores de los subíndices de las masas al hacer los cálculos.

[Al2000]

Re: sistema en equilibrio

Mi versión, por lo que pueda valer... (todas las fuerzas tomadas positivas en el sentido ascendente)

- Cuerpo 1 en reposo pero "intentando" bajar:

$$- m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1 + T + f_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad f_1 = m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - T$$

$$f_1 \leqslant \mu_e m_1 g \cos \theta_1 \quad \Rightarrow \quad m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - T \leqslant \mu_e m_1 g \cos \theta_1$$

$$\boxed {T \geqslant m_1 g (\, \mathrm {sen} \, \theta_1 - \mu_e \cos \theta_1)}$$

- Cuerpo 1 en reposo pero "intentando" subir (sólo cambia el signo de la fricción):

$$- m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1 + T - f_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad f_1 = T - m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1$$

$$f_1 \leqslant \mu_e m_1 g \cos \theta_1 \quad \Rightarrow \quad T - m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1 \leqslant \mu_e m_1 g \cos \theta_1$$

$$\boxed {T \leqslant m_1 g (\, \mathrm {sen} \, \theta_1 + \mu_e \cos \theta_1)}$$

Análogamente para el cuerpo 2 (sólo cambiar el índice 1 por el índice 2):

$$\boxed {m_2 g (\, \mathrm {sen} \, \theta_2 - \mu_e \cos \theta_2) \leqslant T \leqslant m_2 g (\, \mathrm {sen} \, \theta_2 + \mu_e \cos \theta_2)}$$

Si no recuerdo mal, al sustituir valores se ve que ambos rangos son disyuntos y no es posible mantener los dos cuerpos en equilibrio simultáneamente.

Para determinar la aceleración del sistema, asumo que se mueve en sentido horario y hago la suma de fuerzas a lo largo de la cuerda:

$$- m_1 g \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - \mu_d m_1 g \cos \theta_1 + m_2 g \, \mathrm {sen} \, \theta_2 - \mu_d m_2 g \cos \theta_2 = (m_1 + m_2) a$$

Si no recuerdo mal, se obtiene una aceleración positiva de 2 y pico m/s^2.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: sistema en equilibrio

Hola a todos.

Richard: efectivamente, las expresiones de las tensiones que escribí, solamente son válidas para determinar el sentido del movimiento (en esto, ¿ estáis todos de acuerdo ?), pero no para plantear el equilibrio estático.

Es aquí, donde cometí el error por tu señalado, de no tener en cuenta el sentido del movimiento para la fuerza de rozamiento (gracias por el recordatorio). Rehaciendo las cuentas, llego a la expresión siguiente:

$\mu_e=\dfrac{m_2\sqrt{3}-m_1}{m_1\sqrt{3}+m_2}=-0,06$.

Lo cual indica que nunca se alcanzará el equilibrio estático (para el caso c)).

Saludos cordiales,
JCB.