Secundaria Problema de MCU: Cruce de dos partículas

[anthropus]

Las partículas mostradas realizan MCU con periodos ${T}_{1 }=10s$ y ${T}_{2 }=40s$. Determine luego de cuánto tiempo, a partir de ese instante mostrado, logran cruzarse por segunda vez.
No pude centrar bien la diagonal, pero esta en el medio...

[sater]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Buenas, ¿qué has intentado? Te recomiendo escribir la ecuación que te da el ángulo en función del tiempo para cada una e igualarlas. Recuerda que en un movimiento circular a velocidad constante se tiene que $\theta=\theta_0+\omega t$. Para la 1 tendrás $\theta_1=\omega_1 t$ si tomas el "origen de ángulos" en el lugar en que se halla tal partícula en tu esquema, y para la 2 tendrás entonces $\theta_2=\pi -\omega_2 t$ (el menos por recorrer la circunferencia en sentido horario). Recuerda además que $\omega=2\pi /T$. Para encontrar el tiempo, tienes que igualar $\theta_1=\theta_2$.

Un saludo.

Edito: releyendo el enunciado, veo que dice por segunda vez. Podrías encontrar entonces el ángulo en que se encuentran por primera vez, y volver a escribir las ecuaciones a partir de ese momento. Resolviéndolas de nuevo encontrarás donde se encuentran por segunda vez. Debe haber una manera más elegante pero ahora mismo no caigo.

[Al2000]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Fíjate que la partícula 1 se mueve cuatro veces mas rápido que la partícula 2 y por lo tanto en el tiempo que la partícula 2 haya dado media vuelta, la partícula 1 habrá dado dos vueltas. Entonces los dos primeros encuentros ocurren en la parte superior de la trayectoria circular.

Tomando como referencia la posición de la partícula 1, las ecuaciones de las posiciones angulares de las dos partículas son

$$\theta_1 = \frac {2 \pi } {T_1}\,t$$

$$\theta_2 = \pi - \frac {2 \pi }{T_2}\,t$$

El primer encuentro ocurre cuando $\theta_1 = \theta_2$. Ese no te lo piden, pero si quieres lo calculas por pura curiosidad. El segundo encuentro ocurre cuando $\theta_1 - 2 \pi = \theta_2$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

P.D. sater disculpa que cabalgué tu respuesta, lo vi muy tarde.

[JCB]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Hola a todos.

Empleando Excel y generalizando (salvo error), he llegado a la expresión $\theta_1-(n-1)2\pi=\theta_2$, siendo "n" el número de encuentro.

De todas formas, quisiera saber si existe una manera más elegante (como dice sater) de llegar a esta expresión.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[sater]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Se me ocurre que podemos describir el movimiento de cada uno con una exponencial compleja: $e^{i\omega_1 t}$, $e^{i(\pi-\omega_2 t)}$. Ambas serán iguales siempre que

$$\omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n$$

de donde sale que los sucesivos cruces se dan para

$$t=\pi \dfrac{1+2n}{\omega_1+\omega_2}=\dfrac{1+2n}{2} \dfrac{T_1 T_2}{T_1+T_2}$$

con $n=0,1,2 \ldots$. Todos los cruces (salvo el primero que tarda la mitad) tardan lo mismo, pues una vez que se cruzan podemos pensar que las volvemos a fijar ambas en el origen y tenemos dos movimientos circulares en sentidos contrarios. ¿Os parece correcto?

[arivasm]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Yo lo veo de esta manera: la partícula de la derecha (la 1) corre cuatro veces más rápido que la de la izquierda (la 2). Por tanto, cuando se crucen habrá recorrido 4/5 de los 180º, y la de la izquierda 1/5 de esos 180º (ya sé que en radianes queda más elegante, pero no nos hacen falta y nos entendemos mejor). En el siguiente encuentro sucede algo parecido: la 1 habrá recorrido 4/5 de los 360º y la 2 1/5 de los 360º, y así sucesivamente. Por tanto, tiempo transcurrido para el primer cruce, $(T_2 / 2)/5$. Para el segundo añadiremos $T_2/5$ y lo mismo con los siguientes.

Por tanto, el cruce n-simo ocurre en el instante $\dst\frac{1}{5}\left(n+\frac{1}{2}\right)T_2$, que en realidad es la misma fórmula que la de Sater.

[JCB]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Hola a todos.

Efectivamente arivasm, si substituyo $\theta_1=\omega_1t$ y $\theta_2=\pi-\omega_2t$ en la expresión $\theta_1-(n-1)2\pi=\theta_2$, llego a $t=\dfrac{2n-1}{2}\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}$, que también (lo he comprobado) da los tiempos de los sucesivos encuentros.

Pero mi pregunta era sobre cómo llegar a la expresión inicial $\theta_1-(n-1)2\pi=\theta_2$ de una manera más analítica (aunque menos intuitiva).

Entonces sater, escribió que la solución a $e^{i\omega_1 t}$ y a $e^{i(\pi-\omega_2 t)}$, es $\omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n$.

Esta solución (empleando el plano complejo), se me escapa. ¿ me la podéis explicar ?.

Muchas gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

... Esta solución (empleando el plano complejo), se me escapa. ¿ me la podéis explicar ?...

Se basa en la Fórmula de Euler:

$M e^{i \ \alpha}=M (\cos \alpha + i \sin \alpha)$

Un número complejo se puede expresar de varias formas $M\angle \alpha=M\cos \alpha + i M\sin \alpha=M e^{i \ \alpha}$

M=módulo
$\alpha$=argumento

Por otro lado, hay una correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos de plano $\mathbb R^2$

Es decir, a un punto cualquiera del plano de coordenadas cartesianas (a, b) le corresponde el número complejo $a+bi=\sqrt{a^2+b^2}\angle \arctan\dfrac b a$

Por otro lado, me gustaría comentaros que el tiempo que tarda en repetirse la coincidencia,

... de donde sale que los sucesivos cruces se dan para

$$t=\pi \dfrac{1+2n}{\omega_1+\omega_2}=\dfrac{1+2n}{2} \dfrac{T_1 T_2}{T_1+T_2}$$

con $n=0,1,2 \ldots$

que en la fórmula que ha deducido sater es la parte:

$T_s=\dfrac{T_1 \cdot T_2}{T_1 \pm T_2}$

es muy importante en Astronomía, se llama Período Sinódico. Por ejemplo los planetas exteriores como Marte, Júpiter, Saturno,... presentan la mejor visibilidad para nuestros telescopios cuando el Sol, la Tierra y el planeta exterior están en línea recta en ese orden, a esa posición relativa de los 3 astros se le llama Oposición. El tiempo que transcurre entre 2 oposiciones consecutivas es el Período Sinódico

(El signo +/- es para recoger las 2 posibilidades, que los 2 planetas giren en sentidos contrarios o en el mismo sentido. La órbita de la Tierra y la del planeta se aproximan circulares y recorridas a velocidades constantes)

Saludos.

[JCB]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

Gracias Alriga.

Estudiaré más a fondo la variable compleja, porqué lo cierto es que en este momento, aún no acabo de ver de dónde sale $\omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n$.

Por otra parte, me han sorprendido las implicaciones que este “sencillo” ejercicio tiene con la Astronomía (disciplina que desconozco totalmente).

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

... aún no acabo de ver de dónde sale $\omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n$

El ángulo A(t) que proporciona la posición de la partícula 1 es

$A(t)=\omega_1 t$

El ángulo B(t) que posiciona la partícula 2 es

$B(t)=\pi-\omega_2 t$

Cuando ambas partículas coinciden (mismo ángulo) se debe cumplir

A(t)=B(t) ó

A(t)=B(t) + 1 vuelta

A(t)=B(t) + 2 vueltas

.....

Es decir

$\omega_1 t=(\pi-\omega_2 t) + n (2\pi)$

n=0, 1, 2, 3, ...

Con

$\omega_1=\dfrac{2\pi}{T_1}$

$\omega_2=\dfrac{2\pi}{T_2}$

Saludos.