Secundaria Teorema de las fuerzas vivas.

[JCB]

Hola a todos.

Después de que blanco3 abriera dos hilos referentes a la variación de la energía cinética provocada por el trabajo de una fuerza (la resultante), me han surgido unas dudas. Los casos planteados en estos dos hilos, se daban, exclusivamente, en el plano horizontal.

Pues bien, he querido averiguar qué pasaría en un plano inclinado con rozamiento.

No sé si va a suscitar mucho interés, pero es una inquietud que quería resolver.

Supongamos un plano inclinado un ángulo $\theta$, con rozamiento $\mu$.

Tenemos en el punto más bajo del plano, una masa “m” en reposo, a la cual le aplicamos una fuerza $F_a$, paralela al plano inclinado, hasta recorrer una distancia “d”.

1) La fuerza resultante es $F_R=F_a-mgsen \theta-\mu mgcos \theta$. Luego, el trabajo de la fuerza resultante es $\boxed{W=F_Rd=(F_a-mgsen \theta-\mu mgcos \theta)d}$ (1).

2) Del punto anterior, obtenemos la aceleración (también paralela al plano inclinado), $a=\dfrac{F_R}{m}=\dfrac{F_a-mgsen \theta-\mu mgcos \theta}{m}$.

Por otra parte, como la masa parte del reposo, la velocidad, una vez recorrida la distancia “d”, será $v_f=\sqrt{2ad}=\sqrt{2\dfrac{F_a-mgsen \theta-\mu mgcos \theta}{m}d}$.

La energía cinética final $\boxed{E_{cf}=\dfrac{1}{2}mv_f^2=(F_a-mgsen \theta-\mu mgcos \theta)d}$ (2).

Entonces (2) concuerda con (1).

¿ Creéis que la "demostración" es correcta, o se trata de una simple perogrullada ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[arivasm]

Re: Teorema de las fuerzas vivas.

Es una comprobación, para un caso particular, del teorema de la energía cinética: el trabajo total que se realiza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética.

De hecho, la definición de energía cinética procede de dicho teorema.

Por supuesto, la demostración general procede de la segunda ley de Newton: como la resultante es $\vec F=\dfrac{\dd\vec p}{\dd t}$, el trabajo realizado por ésta en un desplazamiento infinitesimal vale $\delta W=\vec F\cdot\dd\vec r=\dfrac{\dd\vec p}{\dd t}\cdot\dd\vec r=\dd\vec p\cdot\dfrac{\dd \vec r}{\dd t}=\dd\vec p\cdot\vec v=\dd\vec p\cdot\dfrac{\vec p}{m}=\dd\left(\dfrac{p^2}{2m}\right)=\dd\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\dd K$. Integrando tenemos que $W=\Delta K$

[JCB]

Re: Teorema de las fuerzas vivas.

Muy agradecido por el comentario, arivasm.

De todas formas, supongo que convendrás conmigo en que las demostraciones generales, a veces, no dan muchas pistas de como hacer la aplicación práctica.

Saludos cordiales,
JCB.

[arivasm]

Re: Teorema de las fuerzas vivas.

Sí. Quizá, por señalar a qué me refería, podríamos pensar en un caso algo más general, como es el de una resultante constante (sin importar cuál sea su origen): $W=\vec F\cdot \Delta \vec r=m\vec a\cdot\Delta\vec r=m\vec a\cdot (\vec r-\vec r_0)$. Al ser constante la resultante también lo será la aceleración, por lo que el movimiento será uniformemente acelerado. Como en este último se cumple que $v^2-v_0^2=2\ \vec a\cdot(\vec r-\vec r_0)$, tenemos que $W=m\left(\frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}v_0^2\right)=\Delta\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$.

Por supuesto, si además se impone que $\vec v_0=\vec 0$ y $\vec r_0=\vec 0$, aún acortamos más, pues $2\vec a\cdot\vec r=v^2$.

En definitiva, cualquier ejemplo en el que las fuerzas sean constantes (por decir uno cualquiera, una persona tira de una caja mediante una cuerda que forma un ángulo con la horizontal...) llevará a la misma conclusión. E incluso ni siquiera eso, pues el teorema es absolutamente general, obviamente.

Si te refieres a la didáctica, yo evitaría la referencia al plano inclinado y partiría del movimiento uniformemente acelerado (dependiendo del nivel, quizá incluso el rectilíneo uniformemente acelerado). De esa manera se puede ver algo de la esencia del teorema (de dónde sale), que encuentro algo más valioso que comprobarlo con un caso concreto (que también tiene su valor e interés, por supuesto).

Saludos.