Divulgación Conservación de la energía potencial.

[JCB]

Hola a todos.

Algunos de los recientes hilos abiertos sobre la energía potencial, me han servido de inspiración. Quisiera plantearos un problema sobre este tema: se trata de un muelle de compresión (de longitud "h" sin comprimir) en posición vertical y apoyado sobre una superficie horizontal, y por otro lado, de una masa “m”.

Cuando deposito lentamente (y a velocidad constante) la masa sobre el muelle (considero una masa puntual), este se comprime una distancia $\Delta h$.

Según esto último, la constante elástica del muelle será $k=\dfrac{F}{\Delta h}=\dfrac{mg}{\Delta h}$ (1).

Considerando la energía potencial en el estado inicial y el final, tenemos:

$E_{p1}=E_{pg1}+\cancel{E_{pe1}}=mgh$.

$E_{p2}=E_{pg2}+E_{pe2}=mg(h-\Delta h)+\dfrac{1}{2}k\Delta h^2$. Substituyendo (1):

$E_{p2}= mgh-mg\Delta h+\dfrac{1}{2}\dfrac{mg}{\Delta h}\Delta h^2=mgh-\dfrac{1}{2}mg\Delta h$.

$E_{p2}-E_{p1}=-\dfrac{1}{2}mg\Delta h$.

Es decir, la energía potencial no se ha conservado, ha disminuido, y esto es debido al trabajo que se ha realizado sobre el sistema. Para depositar lentamente la masa “m” sobre el muelle, podemos sujetarla con un hilo, que estará en tensión.

La tensión en este hilo, será variable: $T(y)=mg-ky=mg-\dfrac{mg}{\Delta h}y$.

El trabajo realizado por esta tensión, $W=\dst\int_{0}^{\Delta h}mgdy-\dst\int_{0}^{\Delta h} \dfrac{mg}{\Delta h}ydy=mg\Delta h-\dfrac{1}{2}mg\Delta h=\dfrac{1}{2}mg\Delta h$.

Expresión que coincide en módulo con la disminución de energía potencial.

¿ Creéis que la explicación del trabajo sobre el sistema es correcta ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Re: Conservación de la energía potencial.

Sólo ten cuidado con los signos, el trabajo de la tensión es negativo. Otro punto en el cual debes tener cuidado es en el manejo de términos como la altura. Fíjate que según todas las convenciones, $\Delta h$ debe ser una cantidad negativa, pues el resorte se comprime, pero tu la tratas como una cantidad positiva cuando escribes que la energía potencial gravitatoria final es $m g (h - \Delta h)$.

De esas inconsistencias en el manejo de los términos tendrás resultados que al final serán engañosos con los signos.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: Conservación de la energía potencial.

Hola a todos.

Gracias Al2000 por advertirme en el tema de los signos. Es un punto en el que, evidentemente, no estuve nada riguroso, y al que no presté la debida atención en el momento en que buscaba la explicación para la diferencia de energía potencial.

No obstante, sigo creyendo que la referencia de energía potencial gravitatoria 0 en la base inferior del muelle es correcta. En el estado inicial, el resorte no está comprimido y la única energía potencial es la gravitatoria, mgh. En el estado final, el muelle se ha comprimido una distancia $\Delta h$, por tanto la energía potencial gravitatoria es $mg(h-\Delta h)$, pues la masa se halla a menor altura.

Ahora bien, en el tema del trabajo de la fuerza de tensión, no tuve en cuenta que ésta, tiene sentido opuesto al desplazamiento, y siendo el trabajo el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento, faltó el $cos\ 180^{\circ}=-1$, que hubiese dado W con signo negativo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Re: Conservación de la energía potencial.

Bueno, compañero, no me interesa polemizar ni menos sentar cátedra, que no estoy para eso. Yo presumo, puesto que tu no has dicho otra cosa, que estás midiendo las alturas de la forma convencional, es decir, hacia arriba. Si tu estableces que tu cero de energía es el punto en el cual el cuerpo se encuentra a una altura $h$ y por lo tanto tiene una energía potencial $m g h$, cuando el cuerpo haya subido o bajado una cantidad $\Delta h$ su nueva energía potencial será $m g (h + \Delta h)$.

Lo que ocurre con lo que tu has escrito es que te has anticipado a que el $\Delta h$ será negativo y estás escribiendo la fórmula en consecuencia, como si el $\Delta h$ fuese positivo, lo cual es falso.

Déjame poner un ejemplo de otra situación para mejor claridad: sin un cuerpo se mueve a lo largo del eje X, y en un momento dado su posición es $x$, cuando haya transcurrido algún tiempo su nueva posición será $x + \Delta x$ (y su velocidad media será $\Delta x/\Delta t$). Lo anterior es cierto cuando el cuerpo avanza ($\Delta x > 0$), retrocede ($\Delta x < 0$) o está en reposo ($\Delta x = 0$). Si tu sabes que el cuerpo está retrocediendo y dices que su nueva posición es $x - \Delta x$ estás cometiendo un error de signo que arrastrarás en cualquier desarrollo posterior.

Saludos,

$\mathcal A \ell$