Otras carreras Periodo del pendulo

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio


Una barra de longitud $L$ esta fija en unos de sus extremos de modo que puede columpiar libre determine el periodo del péndulo. Se obtiene a partir de la siguiente expresión $T=2 \pi \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2L}{3g}}$




Lo que he hecho:


$T= F sin \theta$ $r$
$T= -F sin \theta$ $r$
$I \alpha =-mg sin \theta$ $\displaystyle\frac{L}{2}$


$I \displaystyle\frac{d^2 \theta }{dt^2} = -mg sin \theta \displaystyle\frac{L}{2}$


Pero para ángulos pequeños $sin \theta = \theta$


$I \displaystyle\frac{d^2 \theta }{dt^2} = -mg \theta \displaystyle\frac{L}{2}$


$\displaystyle\frac{d^2 \theta }{dt^2} = \displaystyle\frac{-mg \theta \displaystyle\frac{L}{2}}{I}$


$\displaystyle\frac{d^2 \theta }{dt^2} + \displaystyle\frac{mg \theta \displaystyle\frac{L}{2}}{I} = 0$


Estoy algo oxidado con las ecuaciones diferenciales y tengo un poco de dificultad en resolverla








Saludos

[Alriga]

Re: Periodo del pendulo

Si llamas

$\omega=\sqrt{\dfrac{m g L}{2 I}}$

La ecuación queda:

$\ddot{\theta}+\omega^2 \theta=0$

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, de polinomio característico

$D^2+\omega^2=0$

Las raíces del polinomio son

$D=\ \pm \omega i$

que proporcionan la solución:

$\theta (t)=c_1 \sin \omega t+c_2 \cos \omega t$

O alternativamente:

$\theta (t)= A \cos (\omega t + \phi)$

Si la pulsación es omega, el período T se obtiene de:

$\omega=\dfrac{2 \pi}T$

El momento de inercia de la varilla respecto de su extremo es muy fácil de calcular, o se busca en una tabla como esta

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Periodo del pendulo

Muchas gracias.


Saludos