Otras carreras Problema con resorte - Conservación de Energia y momento angular

[ValdiviaAlan]

Buenas, estoy estudiando para un final de física 1, intenté resolver este problema, pero tengo algunas dudas...

Un cuerpo de masa m apoyado sobre una mesa horizontal libre de rozamiento se encuentra sometido a la interacción con un resorte de constante k y longitud propia H, el cual tiene su otro extremo sujeto al punto O fijo en la mesa. Suponiendo que en el instante inicial el resorte está en equilibrio y el cuerpo recibe una velocidad Vo que forma un angulo de 270 grados con el eje del resorte, obtenga una expresión que permita determinar la máxima deformación del resorte

Para resolverlo pensé en obtener una expresión para $\dot{r}$ y encontrar cuando se anulaba, ya que esto implicaría que $r$ tiene un máximo o un minimo, entonces plantee lo siguiente:
Considerando que el eje transversal forma una base orientada positivamente con el eje radial:
$\vec{v_o}=-v_o \cdot \vec{e_\theta}$
La única fuerza en cuestión $\vec{F(r)}=-k(r-H)\cdot\vec{e_r}$ es radial por lo que el momento de fuerzas es nulo y se conserva el momento angular, con lo que:
$\dot{\theta}=-\frac{v_oH}{r^2}$
Ahora, considerando que la resultante de fuerzas es radial:
$-k(r-H)=m(\ddot{r}-r\dot{\theta})$ y que $\ddot r = \dot{r}\frac{d\dot r}{dr}$ trabajando algebraicamente e integrando obtuve la siguiente expresión la cual iguale a 0:
$\dot{r}^2=-\frac{k(r-H)^2}{2m}-\frac{(v_oH)^2}{2r^2}+\frac{v_o^2}{2}=0$, expresándolo como polinomio de grado 4 al multiplicar la expresión por $r^2$ se ve que una raíz evidente es $r=H$, sin embargo, al multiplicar por $r^2$ técnicamente estoy agregando dos soluciones al problema, sin mencionar que por la naturaleza del problema dudo que r=H sea realmente la solución. Por lo tanto, dividí el polinomio con la regla de ruffini, y noté que por la regla de los signos de descartes, el polinomio de grado 3 resultante debía tener 1 raíz real positiva, que asumo es la solución del problema. Entonces pensé en usar la formula para el polinomio de grado 3, pero estoy seguro que nada de esto era necesario para resolver el problema, con lo que decidí afrontarlo de otra forma.

Como la fuerza elástica es conservativa, debe conservarse la energía mecánica:
$\frac{1}{2}m v_i^2+\frac{k}{2}(r_i-H)^2=\frac{1}{2}m v_f^2+\frac{k}{2}(r_M-H)^2$
Consideré:
$v_i=v_o$

$r_i=H$

$v_f=0$

y obtuve esta expresión: $r_M=\sqrt{\frac{m}{k}}v_o+H$

Al principio me dejó satisfecho, pero luego pensé que si mi solución era correcta, entonces $r=r_M\Rightarrow\dot{r}^2=0$, por lo que reemplacée en la ecuación que había obtenido antes y esto no se verificó. Entonces me cuestione si era correcto suponer $v_f = 0$, digo, entiendo que la expresión de la energía cinética tiene en cuenta el módulo de la velocidad, pero considerando que $v^2=\dot{r}^2+(r\dot{\theta})^2$, cuando la energía potencial del resorte sea máxima, bastaría con que la velocidad radial sea nula y no necesariamente la transversal, así que consideré esto y terminé obteniendo exactamente la misma expresión que al principio...

Entonces mi pregunta, es mi razonamiento correcto, y la única forma de solucionar este problema sería usando la formula del polinomio de 3er grado? O estoy terriblemente equivocado en un aspecto y no me doy cuenta? (Sinceramente espero que sea lo último jaja)

¡Desde ya muchas gracias a quien responda!

[arivasm]

Re: Problema con resorte - Conservación de Energia y momento angular

Consideré:
$v_f=0$

Evidentemente eso es falso. Como bien dices, se conserva el momento angular y $\dot\theta=v_0H/r^2$, que escribiré así: $v_\theta=r\dot\theta=v_0H/r$. Luego si $v=0$ en algún punto de la trayectoria entonces $v_\theta=0$, lo que solo será posible si $r=\infty$.

Intuyo que el máximo alargamiento del resorte será justo en el lado opuesto de la posición inicial (pero ahora mi espesura mental no me permite encontrar un buen razonamiento para demostrarlo) de manera que bastará jugar con $v_0^2=v_f^2+\frac{k}{m}(r_f-H)^2$ (ya me he cargado los $1/2$) y $v_0H=v_f r$, de manera que la expresión buscada será $r_f^2v_0^2=H^2v_0^2+\frac{k}{m}r^2(r_f-H)^2$, que es lo mismo que $v_0(r_f+H)=\frac{k}{m}r_f^2(r_f-H)$, que es el polinomio de grado tres al que te refieres con anterioridad, para el que apuesto que dos soluciones serán imaginarias y una real.

De todos modos, el ejercicio dice encontrar la expresión que permita determinar la máxima deformación del resorte, no encontrar la máxima deformación.