Otras carreras Dinámica del solido rígido

[martin11]

Hola gente, estoy teniendo problemas con este tipo de ejercicios, porque dice que es sin deslizar, y no se que ecuación utilizar.
El ejercicio dice:
Un aro de 80 cm de radio y 15 kg de masa rueda (sin deslizar) por un pano inclinado. I=m.r²
Calcular: la aceleración tangencial,angular y la tensión
Y otra consulta que pasaría si la dirección seria al contrario (osea la caja bajaría) con respecto a las fuerzas y el torque y que pasaria si el ejercicio me dijera con deslizamiento?.
Muchas gracias por sus ayudas!!

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica del solido rígido

Como te piden aceleración y tensión, empieza colocando las fuerzas que actúan sobre cada masa:

(HACIENDO LA CORRECCIÓN QUE SEÑALÓ AI2000. Señalo en rojo el lugar de la corrección. Y muchas gracias por la indicación, en mi nombre y en nombre de cuantos pudieran leerlo)

Masa ${m}_{1}$:
Fuerzas: Tensión de la cuerda $T$ y peso[B] $P = mg$
Ecuación dinámica:

$T -{ m}_{1}g = {m}_{1}{a}_{1}$ (tomando como sentido positivo el del movimento)

Masa ${m}_{2}:$
Fuerzas: Tensión de la cuerda $T$ , fuerza de rozamiento ${F}_{r}$ hacia arriba, peso $P =mg$ y fuerza normal $N$
Descomponemos el peso según la dirección del movimiento y la dirección perpendicular:

${P}_{x}={m}_{2}gsen\theta$
${P}_{y} = {m}_{2}.g.cos\theta$

Ecuaciones dinámicas:

Movimiento de traslación:

Eje x: ${m}_{2}g.sen\theta -T - {F}_{R} = {m}_{2}.{a}_{2}$

Eje y: $N - {m}_{2}g.cos\theta = 0$

]Movimiento de rotación: (respecto al centro de masas)

${F}_{r}\times R - T\times R = I.\alpha = {m}_{2}{R}^{2}\alpha$

Condición de rodadura sin deslizamiento:

${a}_{2} = \alpha . R$

Ecuación de relación:

${a}_{1}=2.{a}_{2}$

Sustituyendo en estas ecuaciones y resolviendo tendrás el problema resuelto.

[Richard R Richard]

Re: Dinámica del solido rígido

porque dice que es sin deslizar, y no se que ecuación utilizar.

que algo ruede sin deslizar significa que los puntos de la superficie del aro que entran en contacto a cada instante con puntos la superficie del plano inclinado, no tienen velocidad relativa entre ellos.

Una consecuencia sería que la velocidad de descenso o ascenso del centro del aro es igual producto de la velocidad angular del aro por su radio y lo mismo sucedería con la aceleración del centro del aro que resultaría de multiplicar el radio por la aceleración angular

$\vec v_{CM}=\vec \omega\times \vec r$

$\vec a_{CM}=\vec \alpha\times \vec r$

Y otra consulta que pasaría si la dirección seria al contrario (osea la caja bajaría)

cuando resuelves este tipo de problemas, a priori no sabes en que dirección se moverá el sistema , es decir si el aro sube o baja, te doy unos consejos para que siempre puedas resolver estas situaciones

• primero has una suposición de movimiento o bien ascendente o descendente, tu sistema de referencia será positivo en la dirección y sentido del movimiento, luego toda fuerza que tenga componente en sentido a ese movimiento la consideras positiva en los sumandos, las contrarias negativas .
• segundo resuelve el mismo problema como si no existiese el rozamiento.
• tercero si la aceleración que calculaste te da positiva, entonces el sentido del movimiento que escogiste es el correcto, si te da negativa el sistema se moverá en sentido contrario al que pensabas.
• Luego si quieres puedes optar cambiar la dirección del movimiento y del sistema de referencia, lo que cambia el signo de las fuerzas en tus ecuaciones para que la aceleración sea positiva.
• Ahora que sabes, en que sentido se mueve, puedes suponer que hay rozamiento y ahora si resolver el problema , siempre debes darle signo contrario al sentido del movimiento a la fuerza de rozamiento, la aceleración que obtienes es menor en modulo que la anterior, pero nunca te dará negativa si has escogido el signo positivo en el sentido del movimiento.

con respecto a las fuerzas y el torque y que pasaria si el ejercicio me dijera con deslizamiento?.

cuando hay rodadura que es lo mismo que decir rueda sin deslizar, el trabajo de la fuerza de rozamiento es nulo.
Si hay deslizamiento puede haber dos opciones , que los puntos de contacto del aro y plano inclinado tengan tengan velocidad relativa a favor o en contra del movimiento de descenso o ascenso.
si el aro tiene velocidad superficial intentando subir , el rozamiento tiene dirección para intentar detenerlo, entonces sobre el aro el rozamiento tiene dirección hacia abajo tangente al plano inclinado , y si viene bajando entonces el rozamiento tiene dirección tangencial ascendente al plano inclinado.

Ten en cuenta para futuro, que si la fuerza de rozamiento estática del aro es mayor que la resultante de la sumatoria de las restantes fuerzas que se aplican al aro, entonces el aro no ascenderá ni descenderá, permanecerá estático, hasta que el rozamiento estático sea vencido por la resultante.

Y si por alguna causa la aceleración angular aplicada al multiplicarla por el radio, es mayor que la fuerza de rozamiento estática del aro, este deslizará sobre la superficie, es decir ya no habrá rodadura, y cuando deslice el coeficiente de rozamiento estático ya no es el necesario para calcular la fuerza de roce ,y si lo será el coeficiente de rozamiento dinámico, aún así el rozamiento tendrá dirección contraria a la velocidad relativa entre las superficies.

[Al2000]

Re: Dinámica del solido rígido

...
Masa ${m}_{2}:$

...

Ecuaciones dinámicas:

Movimiento de traslación:

Eje x: $mg.sen\theta -T - {F}_{R} = m.a$

...

Vuélvelo a pensar La aceleración del cuerpo 1 no es igual a la aceleración lineal del cuerpo 2, pues al avanzar el cilindro enrolla la cuerda

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica del solido rígido

Vuélvelo a pensar La aceleración del cuerpo 1 no es igual a la aceleración lineal del cuerpo 2, pues al avanzar el cilindro enrolla la cuerda

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Gracias Al2000. Efectivamente. Lo que he escrito es cuando la cuerda tira del eje del cilindro
Ahora lo corrijo

[JCB]

Re: Dinámica del solido rígido

Hola a todos.

oscarmuinhos: la última ecuación de relación entre la aceleración de la masa colgante y el aro ($a_1=2a_2$) no acabo de entenderla. ¿ Podrías explicar como llegas a ella ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica del solido rígido

Gracias JCB
Ya fue corregido (por indicación de Al2000)
Pero igual de agradecido por tu indicación
Saludos

[JCB]

Re: Dinámica del solido rígido

Hola a todos.

Disculpa oscarmuinhos, pero sigo sin comprender y reitero la pregunta: ¿ la relación entre la aceleración del aro y de la masa colgante es realmente $a_1=2a_2$ ?. En caso de que la respuesta sea afirmativa: ¿ Cómo se llega a ella ?.

Y es que solamente con las 3 primeras ecuaciones el ejercicio queda indeterminado. Considero necesario establecer una relación entre la aceleración del aro y de la masa colgante. Intuyo que esta relación se obtiene por cinemática y trigonometría, pero aún no he llegado a una conclusión aceptable.

Saludos cordiales amigo,
JCB.

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica del solido rígido

Hola a todos.

Disculpa oscarmuinhos, pero sigo sin comprender y reitero la pregunta: ¿ la relación entre la aceleración del aro y de la masa colgante es realmente $a_1=2a_2$ ?. En caso de que la respuesta sea afirmativa: ¿ Cómo se llega a ella ?.

JCB.

Disculpa JCB.
Había entendido que me estabas corrigiendo lo anterior, no que me estabas preguntando.
Es lo que indicaba Al2000 en su mensaje: la cuerda se enrolla alrededor del cilindro.
Puedes razonarlo de la siguiente manera: imagina que el cilindro rueda dando una vuelta completa. La cuerda en este caso tuvo que avanzar lo mismo que avanzó el cilindro más lo que se enrolló en el cilindro para este poder dar la vuelta. O sea que, si el cilindro (que rueda sin deslizar) avanzó $2\pi R$, la masa ${m}_{1}$ tuvo que avanzar $2 \times 2\pi R$

Disculpa de nuevo por no haber leído bien tu mensaje y Gracias
Un saludo

[Richard R Richard]

Re: Dinámica del solido rígido

Hola, JCB, observa lo que Al2000 indica en el grafico, la cuerda que une el aro con la masa 1,se enrolla o desenrolla sobre la superficie del aro, no lo toma por eje o su CM, luego el CM del aro tiene la mitad de aceleración que la masa 1.
Puedes pensarlo como que el aro es una polea móvil descendiendo, la velocidad de salida de la cuerda por la parte inferior en nula respecto del plano inclinado, si el CM tiene Velocidad V cualquier punto del otro la de la polea lleva velocidad 2V. Del mismo modo sucede con las aceleraciones, la superficie superior acelera al doble que el CM cuando rueda sin deslizar.Así tienes la 4ta ecuación
$2a_2=a_1$
Editoisculpa Oscar no leí tu último post ,me he superpuesto. Saludos

[JCB]

Re: Dinámica del solido rígido

Hola a todos.

Fantástico: ahora sí, oscarmuinhos. No acababa de ver la relación geométrica entre la aceleración del aro y la aceleración de la masa colgante. Para mí, ha sido el punto clave del ejercicio. Gracias también, y como no, a Al2000 y Richard.

Es muy reconfortante compartir con todos vosotros estos análisis (sobre todo, cuando se llega a una conclusión acertada) .

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Re: Dinámica del solido rígido

Tal vez te gustaría mirar el hilo problema solido rigido complicadísimo, para un caso más interesante donde tienes dos radios diferentes.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: Dinámica del solido rígido

Hola a todos.

Suponiendo que el aro descienda por el plano inclinado, he despejado las incógnitas:

$a_2=\dfrac{\left(m_2\dfrac{sen\theta}{2}-m_1\right)g}{2m_1+m_2}=-0,11 \ m/s^2$. Entonces significa que el aro asciende por el plano.

$T=38,35 \ N$.

$F_r=36,75 \ N$.

$a_1=-0,21 \ m/s^2$. Y la masa 1 desciende verticalmente.

Saludos cordiales,
JCB.