Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

pero en conclusion cuales son las coordenadas del Centro de Gravedad en cualquiera de los casos...!!

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

me gustaria saber en ese caso cual es el centro de gravedad de la cuña con los ejes de coordenada que se encuentran ahi..!!

Es el mismo, solamente que trasladado una distancia $R$, en el eje $Z$.

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Yo me lo estaba imaginando en la base

me gustaria saber en ese caso cual es el centro de gravedad de la cuña con los ejes de coordenada que se encuentran ahi..!!

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Eso depende de donde ubiques el sistema de coordenadas, yo lo deje asi:



Esto es solo por comodidad en mi caso, quizás a otros les acomode otra distribución, cuestión de elección.

Yo me lo estaba imaginando en la base

[Fastolfe]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

En la parte 2 y 3, $z$ no empieza desde $z=0$, si no desde $z=R$.

Eso depende de donde ubiques el sistema de coordenadas, yo lo deje asi:



Esto es solo por comodidad en mi caso, quizás a otros les acomode otra distribución, cuestión de elección.

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Te recomendaría que leas algo de integración en más de una variable (en primer ciclo no ven eso en la UNI), seguramente lo verás mas adelante en tercer ciclo ... pero bueno tu profesor seguramente quería que no les saliera el ejercicio .

Bueno es verdad en el primer ciclo de la UNI no nos enseñan integrales, pero en sí , en eso es lo que radica la dificultad con el curso de fisica I ya que nuestro profesor Castillo de la FIGMM nos mete eso de integrales , pero sé mas o menos lo basico y creo que puedo entender la resolucion..!!
bueno en segundo ciclo ya lo entendere completamente , ya que en el segundo ciclo es lo que nos enseñan todo lo referente a integrales ..!!
pero por ahora si entiendo mas o menos lo que son las integrales con mas de una variable..!!

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Depende de cuales.....si dices la equivocacion es mas facil para el gestor del post pueda ver el error y por supuesto tambien él que lo escribio.

En la parte 2 y 3, $z$ no empieza desde $z=0$, si no desde $z=R$.

[Fastolfe]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hola, me parece que los límites de integración para $Z$, no son los correctos en dos de los casos.

Depende de cuales.....si dices la equivocacion es mas facil para todos ver el error

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Se subdivide con los siguientes limites de integración en coordenadas cilíndricas:

1. cilindro de radio R y altura R

   $$\\0<r<R\\0<\theta<2\pi\\-R<z<0\\$$

2. la mitad de un cilindro de radio R y altura H

   $$\\0<r<R\\\pi<\theta<2\pi\\0<z<H\\$$

3. y la dichosa cuña

   $$\\0<r<R\\0<\theta<\pi\\0<z<\left(-\frac{H}{R}\cdot rsen\theta+H\right)\\$$

O sea, las integrales son simples pero no pocas:

Hola, me parece que los límites de integración para $Z$, no son los correctos en dos de los casos.

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

[FONT=Comic Sans MS]bueno gracias por preocuparte por el problema..!!
pero aun falta las coordenadas de esa cuña ..!!
ya que recien vas en el volumen..!!
grax[/FONT]

Te recomendaría que leas algo de integración en más de una variable (en primer ciclo no ven eso en la UNI), seguramente lo verás mas adelante en tercer ciclo ... pero bueno tu profesor seguramente quería que no les saliera el ejercicio .

[Fastolfe]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hay que calcular las integrales:
$\\ \displaystyle\vec{r}_{c.g.}=\frac{\int_V\vec{r}dV}{\int_V dV}\\ \vec{r}=(x,y,z)$

Se subdivide con los siguientes limites de integración en coordenadas cilíndricas:

1. cilindro de radio R y altura R

   $$\\0<r<R\\0<\theta<2\pi\\-R<z<0\\$$

2. la mitad de un cilindro de radio R y altura H

   $$\\0<r<R\\\pi<\theta<2\pi\\0<z<H\\$$

3. y la dichosa cuña

   $$\\0<r<R\\0<\theta<\pi\\0<z<\left(-\frac{H}{R}\cdot rsen\theta+H\right)\\$$

O sea, las integrales son simples pero no pocas:

El volumen sumando las secciones sera:

$\displaystyle V_T=V_1+V_2+V_3=\pi R^3+\frac{\pi R^2H}{2}+V_3$
$\displaystyle V_3=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{-\frac{H}{R}\cdot rsen\theta+H}r dz dr d\theta=HR^2\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right)$
$\displaystyle V_T=\pi R^3+HR^2\cdot\left(\pi-\frac{2}{3}\right)$

El resto son integrales similares a esta. Eso es lo que se me ocurre, despues dejo los resultados.

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Cierto es, este volumen no se como caraj... lo he calculado, pero está mal. Haciéndolo por integral me da:

$$V_q = \frac{\pi}{3}R^2H$$

Si no me he vuelto a equivocar...

[FONT=Comic Sans MS]bueno gracias por preocuparte por el problema..!!
pero aun falta las coordenadas de esa cuña ..!!
ya que recien vas en el volumen..!!
grax[/FONT]

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Bueno, yo lo hago dividiendo ese volumen en triángulos perpendiculares al eje x,

$$A(x) = \frac12 x z = \frac12 y h\left( 1 + \frac y R \right) = \frac12 R h \sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} \left( 1 + \sqrt{1- \frac{x^2}{R^2}} \right) \ .$$

Integrando

$$V_q = \int_{-R}^R \!\! \dd x\ A(x) = \frac{3\pi-8}{12} h R^2 \ .$$

No estoy de si he cometido algún error

[FONT=Comic Sans MS]bueno gracias por preocuparse por mi problema , pero aun falta las coordenadas de este cuña cilindrica
[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]ya que recien hallaste el volumen ...!!!

pero falta sus coordenadas...!!
[/FONT]

[xjuancoolx]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Pod creo que $\displaystyle V_q = \frac{3 \pi - 8}{12} hR^2 \sim \frac{1}{12} hR^2$ es muy poco volumen, si tomamos encuenta que esa cuña es como una cuarta parte del volumen del cilindro $\displaystyle V_d \sim \frac{\pi}{4} hR^2$.

Calculando con integrales me dió que $\displaystyle V_q = \frac{2}{3} hR^2$

equacion del cilindro: $(y-R)^2 + x^2 = R^2$

equacion del plano: $\displaystyle z=\frac{h}{R} y$

parametros de variacion de la cuña son: $\displaystyle \frac{h}{R} y \le z \le h$ para la altura.
$R-\sqrt{R^2 -x^2} \le y \le R$ para la distancia horizontal.

y finalmente $-R \le x \le R$ para la distancia transversal $\Rightarrow$

$\displaystyle V_q = \int \int \int_G dV = \int_{-R}^R \int_{R-\sqrt{R^2 -x^2}}^R \int_{\frac{h}{R} y}^h dz dy dx$

$\displaystyle V_q = \int_{-R}^R \lbrace [ hy - \frac{h}{2R}y^2]_{R-\sqrt{R^2-x^2}}^R \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = 2 \int_0^R \lbrace (hR - \frac{h}{2}R) - [h(R-\sqrt{R^2-x^2})- \frac{h}{2R}(R-\sqrt{R^2-x^2})^2] \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = \int_0^R (hR -\frac{h}{R}x^2) dx = \frac{2}{3} h R^2$

[FONT=Comic Sans MS]gracias pero creo que aun estamos a la mitad del problema ...!!
aun falta las coordenadas del solido que falta para completar el cilindo de altura "R+H" ...!!
ya que recien tenemos el "Vq" y falta sus coordenadas ....!! [/FONT]

[pod]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

En efecto, mi error era que la altura del triangulo no es $z$, sino $h-z$,

$$V_q = \int_{-R}^R \!\!\dd x\ \frac12 y (h-z) = \int_{-R}^R \!\!\dd x\ \frac{h}{2R} \Big( R^2 - x^2 \Big) = \frac23 h R^2 \ .$$