Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

[Jose D. Escobedo]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Pod creo que $\displaystyle V_q = \frac{3 \pi - 8}{12} hR^2 \sim \frac{1}{12} hR^2$ es muy poco volumen, si tomamos encuenta que esa cuña es como una cuarta parte del volumen del cilindro $\displaystyle V_d \sim \frac{\pi}{4} hR^2$.

Calculando con integrales me dió que $\displaystyle V_q = \frac{2}{3} hR^2$

equacion del cilindro: $(y-R)^2 + x^2 = R^2$

equacion del plano: $\displaystyle z=\frac{h}{R} y$

parametros de variacion de la cuña son: $\displaystyle \frac{h}{R} y \le z \le h$ para la altura.
$R-\sqrt{R^2 -x^2} \le y \le R$ para la distancia horizontal.

y finalmente $-R \le x \le R$ para la distancia transversal $\Rightarrow$

$\displaystyle V_q = \int \int \int_G dV = \int_{-R}^R \int_{R-\sqrt{R^2 -x^2}}^R \int_{\frac{h}{R} y}^h dz dy dx$

$\displaystyle V_q = \int_{-R}^R \lbrace [ hy - \frac{h}{2R}y^2]_{R-\sqrt{R^2-x^2}}^R \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = 2 \int_0^R \lbrace (hR - \frac{h}{2}R) - [h(R-\sqrt{R^2-x^2})- \frac{h}{2R}(R-\sqrt{R^2-x^2})^2] \rbrace dx$

$\displaystyle V_q = \int_0^R (hR -\frac{h}{R}x^2) dx = \frac{2}{3} h R^2$

[pod]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Cierto es, este volumen no se como caraj... lo he calculado, pero está mal. Haciéndolo por integral me da:

$$V_q = \frac{\pi}{3}R^2H$$

Si no me he vuelto a equivocar...

Bueno, yo lo hago dividiendo ese volumen en triángulos perpendiculares al eje x,

$$A(x) = \frac12 x z = \frac12 y h\left( 1 + \frac y R \right) = \frac12 R h \sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} \left( 1 + \sqrt{1- \frac{x^2}{R^2}} \right) \ .$$

Integrando

$$V_q = \int_{-R}^R \!\! \dd x\ A(x) = \frac{3\pi-8}{12} h R^2 \ .$$

No estoy de si he cometido algún error

[alefriz]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Me gustaría saber como sabes esto. Parece que haces una especie de triangulo o algo asi? La verdad es que a mi me sale algo diferente

Cierto es, este volumen no se como caraj... lo he calculado, pero está mal. Haciéndolo por integral me da:

$$V_q = \frac{\pi}{3}R^2H$$

Si no me he vuelto a equivocar...

[[Beto]]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hola Alefriz, me parece que te has confundido al calcular los volúmenes, y no estoy muy seguro ... pero a simple vista me parece que las coordenadas del centro de gravedad de la pieza quitada no son esas.

[pod]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

$$V_q = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\pi (2R)^2 H)) = \pi R^2 H$$

Me gustaría saber como sabes esto. Parece que haces una especie de triangulo o algo asi? La verdad es que a mi me sale algo diferente

[alefriz]

Re: Problema de centro de gravedad de una cuña cilindrica

Hola a todos, soi nuevo en este foro y me parece chevre y que siga adelante ...

Bueno el motivo de este mensaje es a los estudiantes de fisica universitaria que tengan dominio de integrales, me podrian ayudar con este problema que el profesor nos planteo en clases , yo soy estudiante de ingenieria de la universidad nacional de ingenieria de lima-peru y estuve intentando ,desarrollarlo , pero al parecer necesito el dominio de integrales , cosa que aun no domino mucho por que recien estoy en el primer ciclo , pero me gustaria saber como se desarrolla por integrales, ya que puedo entender un poco lo que son integrales

bueno gracias de antemano aca les dejo el proble :

HALLAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SIGUIENTE SOLIDO:

me podrian mandar la resolucion paso a paso al siguiente correo : **************************************

gracias

Buenas,

Realmente no es necesario realizar integrales, ya que por simple geometría se puede calcular el centro de gravedad del conjunto. Suponemos que toda la pieza tiene una densidad uniforme de valor $\rho$. Se toma el origen de referencia en el eje del cilindro original, en su base inferior.

Primero tienes que calcular el volumen inicial ($V_i$) y centro de gravedad inicial ($x_i$,$y_i$) del cilindro original intacto, y descontarle el centro de gravedad del trozo quitado ($x_q$,$y_q$), con su volumen ($V_q$) , del trozo quitado. Así podremos obtener el centro de gravedad final del conjunto:

$$y_f \rho V_f = y_i \rho V_i - y_q \rho V_q$$

$$x_f \rho V_f = x_i \rho V_i - x_q \rho V_q$$

Ahora hay que calcular todo lo que necesitemos:

$$V_i = \pi (2R)^2 (R+H) = 4 \pi R^2 (R+H)$$

$$y_i = \frac{R+H}{2}$$

$$x_i = 0$$

$$V_q = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\pi (2R)^2 H)) = \pi R^2 H$$

$$y_q = R + \frac{2}{3}H$$

$$x_q = - \frac{2}{3}R$$

$$V_f = V_i - V_q$$

Sustituyendo todos estos valores en las ecuaciones (1) y (2), obtendremos el centro de gravedad de la pieza pedida ($x_f$,$y_f$).

Un saludo,

[xjuancoolx]

Hola a todos, soi nuevo en este foro y me parece chevre y que siga adelante ...

Bueno el motivo de este mensaje es a los estudiantes de fisica universitaria que tengan dominio de integrales, me podrian ayudar con este problema que el profesor nos planteo en clases , yo soy estudiante de ingenieria de la universidad nacional de ingenieria de lima-peru y estuve intentando ,desarrollarlo , pero al parecer necesito el dominio de integrales , cosa que aun no domino mucho por que recien estoy en el primer ciclo , pero me gustaria saber como se desarrolla por integrales, ya que puedo entender un poco lo que son integrales

bueno gracias de antemano aca les dejo el proble :

HALLAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SIGUIENTE SOLIDO:

me podrian mandar la resolucion paso a paso al siguiente correo : **************************************

gracias