2o ciclo problema de MAS

[saske]

Hola nuevamente, la verdad es que me ha sorprendido esta web, he puesto un problema y en cuestión de horas me han ayudado a resolverlo,estoy muy agradecido a toda la gente que hace que esto sea posible, ya que estan dedicando su tiempo en ayudar a otros. Muchas gracias.

Aqui tengo un nuevo problema donde he avanzado algo pero me estoy volviendo algo loco en el apartado b) si se os ocurre algo y me pueden ayudar os estare muy agradicedos.

Una agencia espacial sugiereun nuevo diseño para el lanzamiento de cohetes al espacio: hacer un agujero que atraviesa la Tierra a lo largo de un diametro y dejar caer con velocidad inicial nula el satélite por el hueco; al llegar al centro de la tierra se enciende los motores del satélite durante un corto espacio de tiempo para darle un incremento de velocidad Av. Se pide: a) calcular la velocidad de escape de la tierra desde la superficie de esta.
B) Calcular el valor de incremento de v que el satélite necesita para que su velocidad cuando salga del agujero(por el extemo contrario al que se soltó) sea la velocidad de escape de la tierra.
C) ¿Es buena la sugerencia de la agencia espacial? Compare la energía necesaria pa que el cohete despegue con la velocidad de escape desde la superficie terrestre con la energia necesaria para suministrar Av en el centro de la tierra.


A) La primera parte es hallar la velocidad de escape de la tierra (cosa que no es complicada)

B) Aqui llegan los problemas, el movimiento que tiene lugar dentro del tunel es un MAS, pero como calculo el incremento de velocidad, ya que pienso que este incremento de velocidad sera la velocidad de escape.

Si a alguien se le ocurre muchas gracias.

[Metaleer]

Re: problema de MAS

Hola,

Yo lo que haría es usar un enfoque de energías; en el centro de la Tierra la velocidad alcanzada por el cohete será la que sea (la calculas teniendo en cuenta que como bien has deducido en el túnel el cohete realiza un MAS, obtienes la EDO que gobierna ese fenómeno, planteas la solución general y obtienes las constantes necesarias sabiendo que en el instante inicial la velocidad era nula y que estaba a una distancia del radio de la Tierra en el mismo instante inicial, obtienes la posición como función del tiempo y la derivas). Por otra parte, como te dicen que habrá un incremento en un corto espacio de tiempo, prácticamente en el centro todavía ya tendrá esa velocidad nueva necesaria para alcanzar la velocidad de escape al llega al otro lado del túnel. De esta manera, el balance de energías que tienes que efectuar es

$T_{centro} + U_{centro} = T_{final} + U_{final}$

Donde $T$ es la energía cinética y $U$ es la potencial. La energía potencial será de la forma $\displaystyle \frac{1}{2}K x^2$ ya que la fuerza en el interior del planeta, considerando éste como con densidad constante y tal, es de la forma $F = - Kx$ (razonable, ya que describe un MAS, y esta fuerza es precisamente del tipo de fuerza que ejerce un muelle, que también hacen que las partículas describan movimientos armónicos simples), y la relación entre una fuerza conservativa y la función energía potencial es $\mathbf{F} = - \nabla U$. La $T_{final}$ recuerda que es la energía cinética del cohete que lleva la velocidad de escape de la Tierra y que $U_{centro}$ es 0, tomando como origen de potenciales el centro de la Tierra. Con eso despejas la velocidad en el centro de la Tierra, y la diferencia de esta velocidad y la original te dará la variación de velocidades que te piden en el apartado b.

$\displaystyle\frac{1}{2}m_{coh} v_{nueva}^2 = \frac{1}{2}m_{coh} v_{escape}^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{GM_T}{R_T^3}\right) m_{coh} R_T^2$

La deducción de $K$ ya la habrás hecho si has sido capaz de identificar el MAS, pero por si acaso, te dejo un enlace donde viene explicado.

Saludos.