Secundaria Ayuda con este problema de Trabajo

[eduardo2384]

Hola amigos , quisiera ayuda para resolver éste problema, ahi les va:

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Un bloque de masa ``m'' es trasladado lentamente mediante una fuerza cuya dirección siempre es tangente a la trayectoria. Determine la cantidad de trabajo desarrollado mediante esta fuerza desde A hasta B (Ver grafico adjunto).

http://img13.imageshack.us/img13/4352/escanear0001j.png


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Gracias por todo

[Fastolfe]

Re: Ayuda con este problema de Trabajo

Hola, solo debes aplicar conservacion de la energia entre el punto A y el punto B.

[eduardo2384]

Resolucion

La resolvi así:
La fuerza peso es una fuerza conservativa, de modo que no importa la geometría de la trayectoria que siga el cuerpo entre A y B.
La fuerza de roce no es conservativa, pero se puede trabajar este problema como si lo fuera, pues se ejerce una fuerza que actúa lentamente.
De modo que para resolverlo, utiliza un plano inclinado de los corrientes, con lados a, b y c y un ángulo $\theta$.
En el bloque actúan tres fuerzas: hacia abajo, la componente del peso $mg\sin\theta$ y la fuerza de roce, $\mu mg\cos\theta$ ; y hacia arriba la fuerza F.
Si no hay aceleración, (el problema lo supone), tenemos:
$F = mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta$

Si llamamos "c" a la distancia que recorre (la hipotenusa del triángulo), tenemos que el trabajo es igual a:
$W = F.c$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$W = mg (\sin\theta + \mu\cos\theta)c$

Expresamos el seno y el coseno por sus definiciones:
$\sin\theta= b/c$
$\cos\theta = a/c$

$W = mg(b/c + \mu a/c)c$
$W = mg/c (b +\mu a)c$
$W = mg(b + \mu a)$

[Jose D. Escobedo]

Re: Ayuda con este problema de Trabajo

Ese resultado esta mal. Ademas, en el bloque actuan 4 fuerzas y estas son: el peso, la normal, la fuerza de rozamiento y la fuerza aplicada (que es la empuja al bloque sobre esa curva y si esto no existiera creo que seria muy dificil ver dicho movimiento.)

El trabajo que realiza esa fuerza se combierte en mas energia potencial, mas energia cinetica y trabajo "hecho" por la fuerza de rozamiento. Finalmente te dire que para calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento necesitas saber la funcion de curva de dicho esquema que yo veo claramente veo que no es un plano inclinado.

[eduardo2384]

Ayuda con este problema de Trabajo

Al decir en el enunciado ''lentamente'' nos hace pensar q podemos considerar este sistema como cuasiestático : estudiamos este sistema dinamico como una sucesion de infinitos sistemas estaticos (implica el equilibrio cinético en cada uno de ellos), es decir, para cada momento se puede tomar todos los parametros como fijos, aunque estos en realidad estan cambiando. Es por eso que consideré la curva como si fuera un plano ya q no importaría la forma de ésta sino q cubra cuasiestáticamente y efectivamente la distancia a.
Este problema lo saqué de un libro ruso, verifiqué mi respuesta y está correcta. Tal vez el autor y yo estamos equivocados, pero no lo creo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ayuda con este problema de Trabajo

Bueno aqui esta mi argumento.

segunda ley de newton:

$\vec F + \vec f_r + \vec N + m\vec g = m \vec a$

$\Rightarrow$Trabajo es:

$\displaystyle \int_l \vec F \cdot d \vec r + \int_l \vec f_r \cdot d \vec r + \int_l \vec N \cdot d \vec r + \int_l m \vec g \cdot d \vec r = \int_l m \vec a \cdot d \vec r$

De donde $\int_l \vec N \cdot d \vec r = 0$ porque el vector $\vec N$ es perpendicular a al vector $d \vec r$.

Ademas despues de unas cuantas manipulaciones se tinene que: $\int_l m \vec g \cdot d \vec r = - mgh$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\int_l \vec F \cdot d \vec r = mgh + \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_o^2 - \int_l \vec f_r \cdot d \vec r$

Finalmente, te dire que de acuerdo con lo que estas diciendo, el termino la energia potencial se mantiene porque es obvio que hay un cambio en el espacio, o se fue de una superficie equipotencial mayor bla, bla, bla.... ahora bien, como dices que se esta moviendo lentamente entonces la energia cinetica podria considerase paqueña ~0 ( como objecion te diria que no se puede hacer un salto de una velocidad igual cero a una velocidad con un valor determinado, en la mecanica clasica la velocidad podria decirse que es un vector continuo). Asi que tu solucion se reduce a:

$\displaystyle \int_l \vec F \cdot d \vec r = mgh - \int_l \vec f_r \cdot d \vec r$

De donde $\int \vec f_r \cdot d \vec r$ es un tabajo variable de acuerdo con la figura porque los vectores $\vec f_r$ y $d \vec r$ estan cambiando de posicion en el espacio de acuerdo con el contorno de la figura dada. Si dices que es cuasiestatico entoces no es un trabajo disipativo y por lo tanto se reduce a cero, con lo el trabajo de esa fuerza se transforma unicamente en el cambio de la energia potencial. Para mi que esa solucion es una buena aproximacion, pero si quieres una aproximacion mejor toma en cuenta esta humilde opinon de utilizar la forma de la figura dada.

Ah! se olvidaba yo tambien utilice libros rusos en la secundaria: En calculo diferecial e integral utilice El Piskunov, Fisica (problemas y preguntas) de Tarasov y Tarasova, Fundamentos de Fisica de Yavorski y Pinski, asi como Lecciones Populares de Matematicas todos de Editorial mir. Te dire que si son buenos libros, pero no son perfectos. Como consejo ya que se que te gustan los libros rusos entonces: "utiliza El libro de Problemas de Fisica General de Irodov que es a mi entender uno de los mejores.

[eduardo2384]

Ayuda con este problema de Trabajo

Gracias, lo tendré en cuenta.

[Jose D. Escobedo]

Re: Ayuda con este problema de Trabajo

Eduardo, no se si vayas a leer esto; pero encontre este problema en el Irdorov y tiene la misma respuesta que tu estas proponiendo, asi que he decidido resolverlo porque le tengo mucho respeto a este libro. Entonces me queda por calcular la integral que encierra el trabajo de la fuerza de rozamiento.

Sea $y = f(x)$ la funcion que describe a la curva, por lo que el radio vector es $\vec r = \hat i x + \hat j f(x) + \hat k C$ donde C es una constante que describe la posicion en el eje de las z's (moviendose de adentro hacia fuera de la pantalla en referencia a tu dibujo) $\Rightarrow$

$d \vec r = \hat i dx + \hat j f'(x) dx$...(1) es el vector de desplazamiento y $\displaystyle \hat t = \frac{\hat i + f'(x) \hat j}{\sqrt{1+(f'(x))^2}} ...(2)$ el vector unitario tangencial a dicha curva.

Sea la superficie U(x,y)=0, entonces $\displaystyle dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = \nabla U \cdot d\vec r =0$
Por lo que el vector normal unitario se puede calcular por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , digamos que U = - f(x) + y

$\displaystyle \Rightarrow \hat n = \frac{- f'(x) \hat i + \hat j}{\sqrt{(f'(x))^2 +1}}$...(3)


Calculando el trabajo de la fuerza de rozamiento $\displaystyle - \int_l \vec f_r \cdot d \vec r = - \int_l f_r (-\hat t) \cdot d \vec r = \int_l f_r \hat t \cdot d \vec r$...(4) $\hat t$ es negativo porque los vectores de desplazamiento y la fuerza de rozamiento se oponen.

Si la ecuacion de la 2da ley de Newton es proyectada en el sentido del vector normal entonces resulta que $\hat n \cdot (\vec F + \vec f_r +\vec N + m \vec g = m \vec a) \Rightarrow N + mg (-\hat j) \cdot \hat n =0$

$\displaystyle N = mg \frac{1}{\sqrt{(f'(x))^2+1}}$...(5) y como es sabido que $F_r = N \mu$...(6) $\Rightarrow$

Utilizando (6),(5),(2) y (1) en (4)

Decimos que el trabajo de la fuerza de rozamiento es = $\displaystyle mg \mu \int_l \frac{1}{\sqrt{(f'(x))^2 +1}} \left( \frac{\hat i + f'(x) \hat j}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} \right )\cdot (\hat i dx + \hat j f'(x) dx)$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero de cualquier forma mi consejo sigue siendo el mismo se tiene que tomar en cuenta la forma de la curva porque puede pasar que la normal, el peso, la fuerza aplicado o la fuerza de rozamiento esten en funcion del espacio.

[eduardo2384]

Ayuda con este problema de Trabajo

Sabes? Tambien les tengo mucho respeto a los libros rusos. También en un inicio intente resolver el problema pero nunca pude determinar directamente el trabajo de la fuerza de rozamiento sin conocer la curva explicitamente. Asi q me enfrasqué en encontrar la respuesta q ofrece Irodov. Me parece q en un caso más realista habría q tener en cuenta la idea de conocer bien la curva en cuestion. Gracias por todo . Hasta luego.