1r ciclo Ayuda con un problema de Cinemática

[ness]

Bueno, en primer lugar me presento, que me acabo de registrar. Me llamo Néstor y soy bastante aficionado a las matemáticas y la física. Espero estar en este foro durante mucho tiempo

Bueno, problema dice así:

Un punto se mueve siguiendo una trayectoria plana, de modo que su aceleración tangencial $a_{t}=k$, siendo su aceleración normal $a_{n}=ct^4$ , donde $k$ y $c$ son constantes positivas. El punto inicia su movimiento en el instante en que $t=0$. Calcula el radio de curvatura, $R$

La solución es, $R=k^2/ct^2$

No sé por dónde empezar a meterle mano al problema. Gracias de antemano

[Metaleer]

Re: Ayuda con un problema de Cinemática

Hola,

En primer lugar, se sabe que

$\displaystyle a_n = \frac{v^2}{R}$

donde $R$ es el radio de curvatura y $v$ es el módulo de la velocidad.

Por otra parte, también sabes que

$\displaystyle a_t = \frac{dv}{dt}$

por definición.

La segunda ecuación la podemos aplicar al problema para decir:

$\displaystyle k = \frac{dv}{dt} \Rightarrow k dt = dv \Rightarrow \int k dt = \int dv \Rightarrow kt = v + \alpha$

donde $\alpha$ es una constante de integración. Pero te dicen que la partícula inicia su movimiento en $t = 0$, luego este dato se puede usar para averiguar la constante no conocida.

$\displaystyle kt = v + \alpha \Rightarrow k\cdot 0 = 0 + \alpha \Rightarrow \alpha = 0$

Luego:

$\displaystyle kt = v(t)$

Despejando $R$ de la primera ecuación:

$\displaystyle R = \frac{v^2}{a_n} \Rightarrow \{a_n = ct^4 \}\Rightarrow R = \frac{v^2}{ct^4} \Rightarrow \{v = kt \}\Rightarrow R = \frac{(kt)^2}{ct^4} = \frac{k^2t^2}{ct^4} = \frac{k^2}{ct^2}$

Saludos.

PD: ¿Este problema de dónde lo has sacado? Recuerdo que estaba en la relación de problemas de mi asignatura de Física de primero.

[ness]

Re: Ayuda con un problema de Cinemática

Muchísimas gracias por la explicación, me ha quedado todo aclarado.

PD: ¿Este problema de dónde lo has sacado? Recuerdo que estaba en la relación de problemas de mi asignatura de Física de primero.

De un libro de Física de COU.

[Metaleer]

Re: Ayuda con un problema de Cinemática

De nada, para eso estamos.