1r ciclo AYUDA-problema de energía potencial.

[miguelon]

Un bloque de 3 kg
que se mueve por el eje x actua una fuerza
que varia con la posicion de F=ax^2+b
donde:
a=5 N/m^2
b=-2.5 N

en x=1m el bloque se mueve a la derecha con V=4m/s.
Determine su velocidad en x=2m .

......El UNICO DATO QUE ME DIO MI PROFESORCITO, es que tendriamos que derivar o algo así... yo si sé derivar pero aplicar la derivación a este probolema no tengo ni idea..AYUDENME por favor.

[Fastolfe]

Re: AYUDA-problema de energía potencial.

La fuerza varia con la posicion, es indicativo que varia la cantidad de movimiento del cuerpo con respecto al tiempo:

$$\displaystyle\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$$

es evidente que esta ultima expresion es de gran utilidad al analizar el problema, se sabe que se trata de un movimiento unidimencional, respetando que la masa del cuerpo se mantiene invariante con el tiempo se debe modificar la expresion de la siguiente manera:

$$\displaystyle\vec{F}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=m\dfrac{dx}{dt}\cdot\dfrac{d\vec{v}}{dx}\to F\cdot dx=mv\cdot dv\to\int_1^2 F(x)\cdot dx=m\int_1^2 v\cdot dv$$

Terminar el ejercicio te lo dejo a ti, suerte.

[miguelon]

Re: AYUDA-problema de energía potencial.

La fuerza varia con la posicion, es indicativo que varia la cantidad de movimiento del cuerpo con respecto al tiempo:

$$\displaystyle\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$$

es evidente que esta ultima expresion es de gran utilidad al analizar el problema, se sabe que se trata de un movimiento unidimencional, respetando que la masa del cuerpo se mantiene invariante con el tiempo se debe modificar la expresion de la siguiente manera:

$$\displaystyle\vec{F}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=m\dfrac{dx}{dt}\cdot\dfrac{d\vec{v}}{dx}\to F\cdot dx=mv\cdot dv\to\int_1^2 F(x)\cdot dx=m\int_1^2 v\cdot dv$$

Terminar el ejercicio te lo dejo a ti, suerte.

bueno no tengo ni idea de como seguir en este ejercicio
eso fue lo mismo que nos dijo mi profe....
pero no se como continuar ni idea
AYUDA..........

[Metaleer]

Re: AYUDA-problema de energía potencial.

Hola.

El problema también se puede resolver con consideraciones energéticas. La fuerza que te dan sólo depende de la posición a lo largo de un eje, así que siempre lo vas a poder expresar como:

$\vec{F} = -\nabla U$

Es decir, se puede expresar como el gradiente de un campo escalar, cambiado de signo: se trata pues de una fuerza conservativa. Para nuestro caso, se tiene que

$\displaystyle ax^2+b = -\frac{dU}{dx} \Rightarrow (ax^2+b)dx = -dU \Rightarrow \int (ax^2+b)dx = - \int dU \Rightarrow a\frac{x^3}{3} + bx = - U + C \Rightarrow U = -a\frac{x^3}{3} - bx + C$

Donde $C$ es una constante arbitraria de integración (ya verás que no hace falta su determinación, o mejor dicho, asignación arbitraria, para la resolución del problema).

Por otra parte, como ya sabemos que sobre la partícula sólo actúa una fuerza conservativa, la que te dan, podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica:

$Energia~cinetica~inicial + Energia~potencial~inicial = Energia~cinetica~final + Energia~potencial~final$

Donde la expresión de la energía cinética es la normal de la toda la vida: $1/2 m v^2$. Tienes la energía cinética inicial, la energía potencial inicial (sustituyes $x=1~m$ en la energía potencial $U$ que hemos deducido antes) y la energía potencial final: la única incógnita pues es la velocidad final, que es lo que te piden:

$\displaystyle -a\frac{1^3}{3} - b\cdot 1 + C + \frac{1}{2}m 4^2 = -a\frac{2^3}{3} - b\cdot 2 + C + \frac{1}{2}m v_{final}^2$

Tienes $a$, $b$ y $m$, y puedes despejar $v_{final}$. Observa que las constantes $C$ se simplifican, como ya comenté antes.

Saludos.

[miguelon]

Re: AYUDA-problema de energía potencial.

Tienes $a$, $b$ y $m$, y puedes despejar $v_{final}$. Observa que las constantes $C$ se simplifican, como ya comenté antes.

Saludos.

BUENO HACIENDO OPERACIONES me salió la respues vfinal=3.92 m/s
pero el profesor nos habia traumado con todo esto que menciono Fastolfe:

(1)
y tambien con esto

PERO la respuesta que me ayudaste a obtener sale realmente
aplicando estas derivadas??
No es que me quiera hacer problemas pero es que un físico debe demostrar como se obtuvo todos los resultados...
y es un hecho que mi profesorcito me saque a la pizarra a demostrarle todo esto y llenar la pizarra....
GRACIAS...

[Metaleer]

Re: AYUDA-problema de energía potencial.

No te entiendo muy bien; lo que hizo Fastolfe es aplicar la segunda ley de Newton y la regla de la cadena para poder realizar una integración que te llevaría en teoría al mismo resultado que saldría con el método que te he planteado yo, por conservación de la energía mecánica. Además, tal y como te lo puso Fastolfe no hay mucho más que agregar, salvo que decir que $\displaystyle \frac{dx}{dt} = v$, está totalmente bien demostrado, es una ecuación de variables separables que se integra tal y como se ta he indicado.

Saludos.