Secundaria ¿Qué energía elástica almacena un arco o una ballesta?

[hami]

Hola a todos:
En muchos libros cuando se evalua la energía potencial elástica almacenada en un arco en tensión, recurren a la expresión [FONT=Times New Roman]1/2Kx2. En ella consideran que X es el desplazamiento de la cuerda en su punto central a partir de su posición de equilibrio. Pero esta fórmula resulta de integrar la ley de Hooke y en esta ley X es el alargamiento experimentado por el resorte elástico. Pero lo que se ha alargado la cuerda no es X ya que esta experimenta un cierto ángulo. Entiendo que habrá que proyectar la tensión sobre el eje X e integrar para determinar la energía potencial elástica. Pienso que se puede calcular para media cuerda y multiplicar por 2. ¿Alguien ha hecho este cálculo exacto? ¿estoy en lo correcto? Si es así os agradecería que explicarais el proceso de integración[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Ah! En todo esto supongo que el arco no se deforma en sus extremos y que sólo es la cuerda la que se estira[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Un saludo[/FONT]

[carroza]

Re: ¿Qué energía elástica almacena un arco o una ballesta?

Hola a todos:
En muchos libros cuando se evalua la energía potencial elástica almacenada en un arco en tensión, recurren a la expresión [FONT=Times New Roman]1/2Kx2. En ella consideran que X es el desplazamiento de la cuerda en su punto central a partir de su posición de equilibrio. Pero esta fórmula resulta de integrar la ley de Hooke y en esta ley X es el alargamiento experimentado por el resorte elástico. Pero lo que se ha alargado la cuerda no es X ya que esta experimenta un cierto ángulo. Entiendo que habrá que proyectar la tensión sobre el eje X e integrar para determinar la energía potencial elástica. Pienso que se puede calcular para media cuerda y multiplicar por 2. ¿Alguien ha hecho este cálculo exacto? ¿estoy en lo correcto? Si es así os agradecería que explicarais el proceso de integración[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Ah! En todo esto supongo que el arco no se deforma en sus extremos y que sólo es la cuerda la que se estira[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Un saludo[/FONT]

Hola. Yo diría que en los arcos que yo conozco la cuerda no se estira, sino que la madera se curva.

En cualquier caso, la expresión $1/2 k x^2$ es válida, en general, para dar la energía de cualquier sistema que se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio. Aquí x puede ser el desplazamiento del centro del arco de su posición de equilibrio, el ángulo que forman los lados de la cuerda con respecto al punto central al tensar el arco, o cualquier otro parámetro que uses para describir la deformación del arco.

La idea es que, en cualquier sistema en equilibrio estable, la energía potencial es mínima para $x=0$, y puede tomarse arbitrariamente como $E_p=0$por lo que, necesariamente, para $x$
pequeño, $E_p=1/2 k x^2$. La constante $k$ es simplemente la derivada segunda de la energía potencial con respecto a x.

[hami]

Re: ¿Qué energía elástica almacena un arco o una ballesta?

Ya. Puede que mi ejemplo no sea el mejor. Pero entonces redefino el problema. Pensemos en un tirachinas en el que la horquilla está totalmente estática y lo que realmente se alarga es la goma. Además la goma inicialmente está en el plano de la horquilla. O sea, que sólo se pone banda elástica justa para unir de palo a palo de la horquilla. Entonces tiramos de ella hasta formar un ángulo, por ejemplo, de 45º. ¿qué trabajo hemos realizado? ¿Cómo hacemos la integración teniendo en cuenta el ángulo variable que forma la tensión en todo momento?

A ver, así

Saludos

[carroza]

Re: ¿Qué energía elástica almacena un arco o una ballesta?

Hola.

En el caso del tirachinas, con una banda elástica ideal, la energía potencial
será $E_p = 1/2 k_b (l-l_0)^2$, donde $k_b$ es la constante elástica de la banda, $l$ es la longitud final y $l_0$ es la longitud inicial. En función del ángulo que forma la goma estirada con la goma en la posición inicial, $l = l_0 / \cos \theta$.
En función del desplazamiento x del punto central del tirachinas
$l = \sqrt{l_0^2 + (2x)^2}$.

Si desarrollas estas expresiones, verás que, si el ángulo, o x son pequeños, la energía puede aproximarse como $E_p = 1/2 k_\theta (\theta)^2$,
o bien como$E_p = 1/2 k_x (x)^2$, donde las constantes correspondientes $k_\theta, k_x$ son las derivadas segundas de la energía con respecto a $\theta$ o x.

[hami]

Re: ¿Qué energía elástica almacena un arco o una ballesta?

Tienes razón con lo de la energía potencial, pero no toda se invierte en dar energía a la flecha o el proyectil. La energía elaástica se obtiene por integración de la fuerza elástica, pero no toda esta fuerza actúa sobre el eje X sino sólo su proyección a través del coseno del ángulo. Por eso no puede dar la expresión clásica de la energía potencial. La integral con el coseno aunque se a en función de X tiene que dar otra cosa. creo

Saludos

[carroza]

Re: ¿Qué energía elástica almacena un arco o una ballesta?

La integral del producto escalar de una fuerza conservativa por el desplazamiento es igual a la variación de energía potencial.

En el caso del tirachinas, si calculas la integral de la componente x de las fuerzas elásticas (las dos contribuciones correspondientes a las dos mitades de la goma) a lo largo del eje x, te da la expresión que te he puesto para la energía potencial.