Otras carreras Ondas y numeros complejos

[rusocdu]

Hola amigos! recurro a ustedes para que me ayuden a resolver una duda...

Por ejemplo para un sistema masa-resorte tengo la siguiente solucion:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

mi problema es que DEBO DEMOSTRAR mediante numeros complejos que $A_1$ es el conjugado de $A_2$.

Me ayudarian por favor?

No me doy cuenta lo que debo hacer...

Muchas gracias de antemano!

[Metaleer]

Re: Ondas y numeros complejos

Hola.

Me quiero imaginar que estás preguntando lo siguiente...

La ecuación diferencial que gobierna el sistema masa-resorte que estás considerando es

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0.$

Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes. Ensayas la solución exponencial $e^{rt}$ como solución y obtienes que se debe tener que el polinomio característico se anule

$\chi(r) = r^2 + \omega^2 = 0 \Rightarrow r = \pm \omega i.$

La solución general por tanto es

$x(t) = A e^{\omega i t} + B e^{-\omega i t}.$

La fórmula de Euler nos dice que

$e^{\theta i} = \cos \theta + i \sin \theta,$

luego las dos soluciones $e^{\omega i t}$ y $e^{-\omega i t}$ se pueden expresar como

$e^{\omega i t} = \cos (\omega t) + i \sin (\omega t),$

$e^{-\omega i t} = \cos (-\omega t) + i \sin (-\omega t),$

pero sabemos que $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ y $\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$, $\forall \alpha \in \mathbb{R}$, así que

$e^{\omega i t} = \cos (\omega t) + i \sin (\omega t),$

$e^{-\omega i t} = \cos (\omega t) - i \sin (\omega t),$

y queda demostrado que ambas soluciones son complejas conjugadas.

Saludos.

[rusocdu]

Re: Ondas y numeros complejos

Metaleer!!!!!!!
Excelente explicacion! Mi problema era exactamente ese!!!!

Te agradezco muchisimo!!!!

[alespa07]

Re: Ondas y numeros complejos

Wenas. Si tu problema era ese ok! Porque tu querías demostrar que las constantes A1 y A2 eran cmplejos conjugados lo que en general no es cierto ya que dependen de tus condiciones iniciales.
Saludos.