1r ciclo Momento de inercia anillo

[BigMess]

Sé que el momento de inercia de un anillo respecto a un eje perpendicular al mismo y que pasa por su cdg, teniendo el anillo un diámetro exterior D y un diámetro interior d es:

$I_G=\frac{m (D^2+d^2)}{8}$

Lo que necesito es deducir esto a partir de la fórmula para un momento de inercia
$<br /> \int\ x^2 \, dm$

He buscado por internet y en libros pero no lo he encontrado. ¿Alguien conoce esta demostración?

Saludos

[alespa07]

Re: Momento de inercia anillo

wenas, el anillo es plano o tiene longitud?

[Metaleer]

Re: Momento de inercia anillo

Hola.

La integral que te da el momento de inercia que buscas corresponde a

$\displaystyle I = \iint_{anillo} r^2 dm = \iint_{anillo} r^2 \sigma dxdy,$

suponiendo que el anillo se encuentra en el plano $XY$, $r$ es la distancia desde el origen hasta un punto del anillo y teniendo en cuenta que la densidad superficial de masa, el elemento diferencial de masa y el área diferencial vienen relacionadas por $\displaystyle \sigma = \frac{dm}{dA} = \frac{dm}{dxdy}$. En este plano, $r = \sqrt{x^2+y^2}$, y si supones que el cuerpo es homogéneo, la densidad es constante y sale fuera de la integral, y queda

$\displaystyle I = \sigma \iint_{anillo} x^2+y^2 dxdy,$

que, haciendo un cambio a coordenadas polares, es decir $x = \rho \cos \theta$, $y = \rho \sin \theta$, con jacobiano $\rho$, queda la integral como

$\displaystyle I = \sigma \iint_{anillo} \rho^3 d\rho d\theta.$

Según el enunciado, $\rho \in [d/2, D/2]$ y $\theta \in [0, 2\pi]$, y como habíamos supuesto que la densidad es constante, $\displaystyle \sigma = \frac{M}{\pi((D/2)^2 - (d/2)^2)}$, tenemos que

$\displaystyle I = \frac{M}{\pi((D/2)^2 - (d/2)^2)} \int_0^{2\pi} \int_{d/2}^{D/2}\rho^3 d\rho d\theta = \frac{2M}{(D/2)^2 - (d/2)^2} \int_{d/2}^{D/2}\rho^3 d\rho = \frac{2M}{(D/2)^2 - (d/2)^2} \frac{(D/2)^4 - (d/2)^4}{4} = \frac{2M}{(D+d)(D-d)/4}\frac{(D+d)(D-d)(D^2+d^2)/16}{4} = \frac{1}{8}M (D^2+d^2).$

En todo este cálculo debes tener en cuenta que lo que se ha hecho es válido porque el cuerpo es plano, pero para un objeto tridimensional por ejemplo, el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el CDM de una esfera NO se calcula con $\iiint_{esf}(x^2+y^2+z^2)dm$; esto es el momento de inercia con respecto a un punto, que es el origen; el CDM en este caso. Lo que ocurre es que en situaciones como la nuestra, la integral correspondiente al cálculo del momento de inercia con respecto a un punto (el CDM) y la integral correspondiente al cálculo del momento de inercia con respecto a una recta que es perpendicular al plano del anillo y que pasa por el CDM, coinciden. Esto es algo que normalmente no viene en los libros de 1°, todos alegremente calculan la integral sin decir nada de esto.

Te sugiero otra posible forma de resolución: sabrás que los momentos de inercia son aditivos, así que lo que se podría hacer es considerar el momento de inercia de un disco de radio $D/2$, y restarle el momento de inercia correspondiente a un disco de radio $d/2$.

Saludos.

[BigMess]

Re: Momento de inercia anillo

Te sugiero otra posible forma de resolución: sabrás que los momentos de inercia son aditivos, así que lo que se podría hacer es considerar el momento de inercia de un disco de radio $D/2$, y restarle el momento de inercia correspondiente a un disco de radio $d/2$.

muchisimas gracias, he intentado esto que propusiste, pero al restarse, me queda:

$\frac{1}{2}M(\frac{D}{2})^2-\frac{1}{2}M(\frac{d}{2})^2=\frac{1}{8}\cdot M \cdot (D^2-d^2)$

es decir, con signo negativo en vez de positivo

[Metaleer]

Re: Momento de inercia anillo

muchisimas gracias, he intentado esto que propusiste, pero al restarse, me queda:

$\frac{1}{2}M(\frac{D}{2})^2-\frac{1}{2}M(\frac{d}{2})^2=\frac{1}{8}\cdot M \cdot (D^2-d^2)$

es decir, con signo negativo en vez de positivo

El error que has cometido ahí es suponer que ambos discos tienen masa $M$; tienes que poner la masa correcta que corresponde a cada disco. Para hacer esto, te doy una pista: la densidad de masa es constante e igual a $\displaystyle \sigma = \frac{M}{\pi((D/2)^2 - (d/2)^2)}$.

Por cierto, una cosa. ¿La explicación con integrales dobles la has entendido? Porque estos asuntos en los libros de primero se suelen tratar con integrales en una variable, y por la naturaleza de la pregunta, parece que es de la asignatura de Física General de 1°, y no sé si has dado ya integración múltiple o no...

[BigMess]

Re: Momento de inercia anillo

Claro, no caí en lo de la masa... gracias!

La pregunta es para la asignatura de Física experimental de 1º, en el laboratorio calculamos experimentalmente el valor del momento de inercia del anillo (conociendo su periodo de oscilación y con el teorma de Steiner) y había que compararlo con el valor teórico. En el informe te pedían que demostrases esa fórmula.

Y las integrales dobles las he dado este año, asi que la explicación la he entendido, gracias