Otras carreras Equilibrio y oscilaciones

[el_gabi]

Bueno gente por aqui otro problema que no pude resolver:
Solo hare referencia a la parte a) que es la que no veo por donde hacer:
Trate planteando las condiciones de equilibrio, es decir: fuerza neta sobre el cilindro es nula, torque neto es nulo.
En el planteo de estas ecuaciones me surgen varias dudas, la primera es si debo considerar la fuerza de rozamiento, yo en principio supuse que si pero luego si planteo la ecuacion de torque sobre el centro de masa del cilindro llego a que solo la fuerza de rozamiento hace torque en este punto ergo el torque neto en ese punto no es nulo ergo hay una aceleracion angular esto no es posible porque el cuerpo esta en equlibrio eso me lleva a pensar que la fuerza de rozamiento no actua
Si considero el torque desde el punto del cilindro que esta apoyado en la rampa, y desde alli calculo los torques llego a una ecucion, de donde despejo el seno del angulo pero de todas formas sigue faltandome una ecuacion
No se por donde seguir... alguna idea?
Gracias saludos!!!

[Metaleer]

Re: Equilibrio y oscilaciones

Hola.

En casos como estos cuando uno no está seguro con el método de fuerzas, puede venir al rescate los métodos energéticos. Voy a tomar el origen de potenciales gravitatorios donde se encuentra el punto fijo del muelle. En un punto arbitrario del movimiento, el disco habrá avanzado $(\ell + x)$ sobre el plano ($\ell$ es la elongación natural), y por semejanza de triángulos, la altura desde el origen de potenciales hasta el centro del disco será

$-(\ell + R + x)\sin \theta,$

y por tanto, la energía potencial gravitatoria será

$-Mg(\ell + R + x)\sin \theta.$

La energía potencial elástica debida al muelle es

$\displaystyle \frac{1}{2}k x^2,$

Y las cinéticas del disco

$\displaystyle \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{4}M v^2,$

$\displaystyle \frac{1}{2}M v^2$

donde he usado que $\displaystyle \omega = \frac{v}{R}$ por haber rodadura sin deslizamiento, y que $\displaystyle I_G = \frac{1}{2} M R^2$ para un disco.

De esta manera la energía mecánica $E$ será

$\displaystyle E = -Mg(\ell + R + x)\sin \theta + \frac{1}{2}k x^2 + \frac{1}{4}M v^2 + \frac{1}{2}M v^2.$

Todas las fuerzas que realizan trabajo en nuestra situación son conservativas (la de rozamiento por rodadura no realiza trabajo; en este foro se ha demostrado este hecho), y por tanto, se tendrá que la energía mecánica se conservará: su derivada temporal será 0

$\displaystyle 0 = \frac{dE}{dt} = -Mg \sin \theta \frac{dx}{dt} + \frac{1}{2}M v \frac{dv}{dt} + M v \frac{dv}{dt} + k x \frac{dx}{dt}.$

Recuerda que $\displaystyle v = \frac{dx}{dt}$ y $\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$:

$\displaystyle -Mg \sin \theta \frac{dx}{dt} + \frac{1}{2}M \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} + M \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} + k x \frac{dx}{dt} = 0 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \boxed{-Mg \sin \theta + \frac{1}{2}M \frac{d^2x}{dt^2} + M \frac{d^2x}{dt^2} + k x = 0.}$

La ecuación enmarcada de arriba es la ecuación diferencial de movimiento de nuestro sistema. El equilibrio se alcanza cuando $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = 0$, es decir

$\displaystyle kx = Mg \sin \theta \Rightarrow \boxed{x = \frac{Mg \sin \theta}{k}.}$

Saludos.

[nicco]

Re: Equilibrio y oscilaciones

Me parece de poca ayuda para el que pregunta dar la solución completa y paso a paso de un problema :P, just my point of view

[nicco]

Re: Equilibrio y oscilaciones

Sin quitar mérito a Metaler que con toda su buena intención se ha currado el problema claro :-)

[el_gabi]

Re: Equilibrio y oscilaciones

De poca ayuda seria para mi si yo copiara asi sin mas kla solucion del ejercicio pero no es el caso porque la solucuion final nunca me interesa cuando posteo de manera q tener la resolucion del ejercicio a mi personalmente me ayuda muhco para poder entederlo y resolverlo...
Gracias metaleer por el salvavidas !!! Saludos!!

[Metaleer]

Re: Equilibrio y oscilaciones

Era sólo para mostrar un método de resolución alternativo, ya que el método de fuerzas no le quedaba claro al que inició el hilo, y además en el primer mensaje ya mostró que lo intentó.

el_gabi, de nada; para eso estamos.

[pisacaballo]

Re: Equilibrio y oscilaciones

Alguien me puede ayudar con la parte 3 porque xq como que hay al que no me cierra.

(d^2 x / dt) + (m/k)x - gsen = 0

por lo que veo la frecuencia angular no cambia no me queda claro como queda x(t), si a alguien le da para explicar esto me ayudaría empila.

Me gustaría leer algo mas sobre movimiento armónico pero un libro que se dedique especialmente a esto o que este completo porque los que encontré lo explican muy superficial.

[Sartie]

Re: Equilibrio y oscilaciones

Me gustaría leer algo mas sobre movimiento armónico pero un libro que se dedique especialmente a esto o que este completo porque los que encontré lo explican muy superficial.

Te recomiendo este:

Vibraciones y Ondas. A. P. French. Cursos de Física del MIT. Editorial Reverté.