Secundaria Conservación de la energía mecánica

[Cara cruzada]

Hola a todos. Me gustaría que me aclaraseis una dudilla (es facil, de 1º de bachillerato).
Me gustaría que me explicaseis qué es el trabajo conservativo y no conservativo y qué significa que el incremento de la energía mecánica sea igual al trabajo no conservativo (osease la conservación de la energía mecánica). /\E= Wnc

[arreldepi]

Re: Conservación de la energía mecánica

Hola a todos. Me gustaría que me aclaraseis una dudilla (es facil, de 1º de bachillerato).
Me gustaría que me explicaseis qué es el trabajo conservativo y no conservativo y qué significa que el incremento de la energía mecánica sea igual al trabajo no conservativo (osease la conservación de la energía mecánica). /\E= Wnc

Hola!

"Trabajo conservativo" es aquel que no depende del camino (trayectoria) seguido siempre y cuando el punto de inicio sea el mismo que el punto final. En general, es cuando las fuerzas que actúan en el campo son constante. En estos casos:

$W_{fc}=-\Delta E_p$

$W=\Delta E_c$

"Trabajo no conservativo" es aquel en el cual las fuerzas que actúan son no conservativas (todo y que haya conservativas).

Por lo tanto tenemos que:

$W=\Delta E_c$

que es válido tanto para conservativas como no para conservativas

En cambio, la variación de energía potencial a lo largo del desplaciamiento sólo corresponde al trabajo realizado por las fuerzas conservativas. Por lo tanto, el trabajo total tendrá que ser (en un caso muy general):

$W=W_{fc} + W_{fnc}$

Y sabemos que:

$W=\Delta E_c$

$W_{fc}=-\Delta E_p$

Con lo que:

$\Delta E_c = \Delta E_p + W_{fnc}$

Que si despejamos el trabajo no conservativo:

$W_{fnc}= \Delta E_c + \Delta E_p$

Y de aquí es de donde sale:

$\boxed{W_{fnc}=\Delta E}$

Un saludo!

[polonio]

Re: Conservación de la energía mecánica

A ver, tenemos una pequeña incorrección: trabajo conservativo es trabajo de las fuerzas conservativas. Como muy bien se ha dicho, el trabajo conservativo entre dos puntos determinados no depende del camino, pero las fuerzas conservativas no son constantes en general (serían, en todo caso, unos casos particulares de fuerzas conservativas); fuerza conservativa se puede definir de varias formas equivalentes:

-El trabajo que realizan entre dos puntos determinados no depende del camino.

-El trabajo en un camino cerrado es nulo.

-Derivan de una energía potencial ($\vec{F}= -\vec{\nabla}E_p$).

-Son irrotacionales.



Aquí va a bastar con lo de la energía potencial. Tiene como consecuencia que el trabajo de una fuerza conservativa es menos su variación de nergía potencial:

$W ^{conserv.} = -\Delta E_p$


Por lo demás, muy bien, arreldepi.

[Metaleer]

Re: Conservación de la energía mecánica

A ver, tenemos una pequeña incorrección: trabajo conservativo es trabajo de las fuerzas conservativas. Como muy bien se ha dicho, el trabajo conservativo entre dos puntos determinados no depende del camino, pero las fuerzas conservativas no son constantes en general (serían, en todo caso, unos casos particulares de fuerzas conservativas); fuerza conservativa se puede definir de varias formas equivalentes:

-El trabajo que realizan entre dos puntos determinados no depende del camino.

-El trabajo en un camino cerrado es nulo.

-Derivan de una energía potencial ($\vec{F}= -\vec{\nabla}E_p$).

-Son irrotacionales.



Aquí va a bastar con lo de la energía potencial. Tiene como consecuencia que el trabajo de una fuerza conservativa es menos su variación de nergía potencial:

$W ^{conserv.} = -\Delta E_p$


Por lo demás, muy bien, arreldepi.

Hola.

Las tres primeras condiciones son correctas siempre, pero que un campo irrotacional ($\nabla \times \mathbf{F} = 0$) sea conservativo, viene limitado por el lema de Poincaré:

Si $\mathbf{F}: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ es un campo vectorial diferenciable con continuidad con $S$ un conjunto abierto simplemente conexo, entonces $\mathbf{F}$ es conservativo si, y sólo si,

$\displaystyle D_iF_j = D_jF_i,$

en $S$ y para todo $i, j = 1, \ldots, n$.

Por ejemplo, el campo eléctrico asociado a un conductor cargado indefinido es del tipo $\displaystyle \mathbf{E} \propto \frac{1}{r}$, y por tanto el dominio ya no es simplemente conexo, y ahí ya no podrías decir que el hecho de que $\nabla \times \mathbf{E} = 0$ implique que sea un campo conservativo.

Aún así, esto es salirse un poco del asunto, ya que el autor del hilo necesitaba estos conocimientos a nivel 1° Bachillerato.

Saludos.

[polonio]

Re: Conservación de la energía mecánica

Pues sí te has pasado tres pueblos para un chico de 1º de bachillerato. Si estaba tratando de evitar lo del rotacional y todo eso...

Pero, ya que estamos en éstas, hay una forma menos formal de decir lo de continua en un conjunto abierto simplemente conexo,...: tanto la condición de irrotacional como lo de poderlo escribir como menos gradiente de la energía potencial son propiedades locales, así que son válidas donde esté definido el campo (no en puntos singulares); las condiciones integrales, sin embargo, se cumplen siempre si evitamos encerrar puntos singulares.

[Metaleer]

Re: Conservación de la energía mecánica

Pues sí te has pasado tres pueblos para un chico de 1º de bachillerato. Si estaba tratando de evitar lo del rotacional y todo eso...

Pero, ya que estamos en éstas, hay una forma menos formal de decir lo de continua en un conjunto abierto simplemente conexo,...: tanto la condición de irrotacional como lo de poderlo escribir como menos gradiente de la energía potencial son propiedades locales, así que son válidas donde esté definido el campo (no en puntos singulares); las condiciones integrales, sin embargo, se cumplen siempre si evitamos encerrar puntos singulares.

En efecto.

De todas formas, esto es algo que se explica mal constantemente, y hay libros (El Burbano, el Marion-Thorton) que textualmente dicen eso, $\nabla \times \mathbf{F} = 0 \Leftrightarrow$ campo conservativo, pero claro, hay que tener en cuenta lo que tú has dicho, hay que evitar las singularidades.

[polonio]

Re: Conservación de la energía mecánica

O como tú has dicho,... y ya está bien de darnos palmaditas en la espalda.

Pero me ha gustado que hagas la puntualización porque luego vienen las sorpresas cuando en un examen aparece una circulación en un camino cerrado y no se anula porque encierra un punto singular, pero algunos ponen, erróneamente, que se anula porque el rotacional es nulo (claro... en todos los puntos donde está definido el campo).

Avisados quedan.

[Cara cruzada]

Re: Conservación de la energía mecánica

Gracias a todos por vuestra ayuda, aunque he de reconocer que de la última parte me he enterado de más bien poco . Sin embargo, me han sido muy útiles vuestras aportaciones y alfinal he sacado un 9,5 en el examen de termodinamica, trabajo y energía .

Gracias a todos.

[Metaleer]

Re: Conservación de la energía mecánica

Gracias a todos por vuestra ayuda, aunque he de reconocer que de la última parte me he enterado de más bien poco . Sin embargo, me han sido muy útiles vuestras aportaciones y alfinal he sacado un 9,5 en el examen de termodinamica, trabajo y energía .

Gracias a todos.

No te preocupes, las últimas aportaciones eran para nosotros dos entre sí, para aclarar algo.

Felicidades por la nota.

[polonio]

Re: Conservación de la energía mecánica

Enhorabuena por la nota.

(Y disculpa por la discusión posterior, que no es de tu nivel, pero así queda claro para más personas que pueden sacar provecho del hilo.)

[Jose D. Escobedo]

Re: Conservación de la energía mecánica

Hola.

Las tres primeras condiciones son correctas siempre, pero que un campo irrotacional ($\nabla \times \mathbf{F} = 0$) sea conservativo, viene limitado por el lema de Poincaré:

Si $\mathbf{F}: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ es un campo vectorial diferenciable con continuidad con $S$ un conjunto abierto simplemente conexo, entonces $\mathbf{F}$ es conservativo si, y sólo si,

$\displaystyle D_iF_j = D_jF_i,$

en $S$ y para todo $i, j = 1, \ldots, n$.

Por ejemplo, el campo eléctrico asociado a un conductor cargado indefinido es del tipo $\displaystyle \mathbf{E} \propto \frac{1}{r}$, y por tanto el dominio ya no es simplemente conexo, y ahí ya no podrías decir que el hecho de que $\nabla \times \mathbf{E} = 0$ implique que sea un campo conservativo.

Aún así, esto es salirse un poco del asunto, ya que el autor del hilo necesitaba estos conocimientos a nivel 1° Bachillerato.

Saludos.

Es evidente que: $D_i F_j = D_j F_i$ implica $\nabla \times F =0$. En adicion, que el conjunto sea abierto y conexo esta bien, pero que el ejemplo $\displaystyle \mathbf E \propto \frac{1}{r}$ el dominio no sea conexo me parece que tengo mis dudas porque el dominio es $r \epsilon (0, \infty)$ "it's open and connected" yo creo que si es conexo

Y si no aqui esta la definicion: http://en.wikipedia.org/wiki/Connected_space

y tambien en español:
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexo

[Metaleer]

Re: Conservación de la energía mecánica

He dicho simplemente conexo, no conexo. En $\mathbb{R}^3$, si un conjunto se queda sin una recta entera, no es simplemente conexo. Por ejemplo, imagina el campo eléctrico, y el conductor situado sobre el eje Z; pues el conjunto dominio se queda con todos los puntos, menos los del eje Z; el eje Z no está en el dominio.

http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space

Por otra parte, $\displaystyle \text{rot}~ \mathbf{F} = 0 \Leftrightarrow D_iF_j = D_jF_i$ sólo en $\mathbb{R}^3$, no tiene sentido hablar de rotacional en $\mathbb{R}^2$ por ejemplo (puedes definir el campo $(F_1, F_2, 0)$, pero bueno). Fíjate que he enunciado el lema para campos vectoriales en general, y el concepto de la igualdad de derivadas parciales cruzadas es válida en general, no así el concepto de rotacional.