Otras carreras pregunta sobre el calculo del momento de inercia de un cuerpo continuo

[ser humano]

hola, tengo dudas acerca de cuales son los valores entre los que tengo que evaluar la integral de la distancia al cuadrado , etc etc, para obtener el momento de inercia de un cuerpo continuo. segun lo que tengo entendido se evalua entre los extremos del cuerpo que se encuntran rotando, tomando como ceros de las cordenadas el eje de rotacion, por ejemplo: (imagen al final, la recta es el eje de rotacion del cilindro de radio r y altura h)

me gustaria saber si estoy en lo correcto, y de no estarlo que me pudieran mostrar como hacerlo.

gracias

[Sartie]

Re: pregunta sobre el calculo del momento de inercia de un cuerpo continuo

En la primera creo que debes integrar de 0 a r y en la segunda de -h/2 hasta h/2.

[ser humano]

Re: pregunta sobre el calculo del momento de inercia de un cuerpo continuo

entonces cual es el criterio para saber desde donde y hasta donde evaluar?, orque en la primera el eje de rotacion esta en el cero, el cual es el centro del cilindro (por lo que hay r a cada lado de el eje de rotacion)

[Sartie]

Re: pregunta sobre el calculo del momento de inercia de un cuerpo continuo

entonces cual es el criterio para saber desde donde y hasta donde evaluar?, orque en la primera el eje de rotacion esta en el cero, el cual es el centro del cilindro (por lo que hay r a cada lado de el eje de rotacion)

si, pero debes integrar con coordenadas cilindricas, esto es haces de cero a r y de cero a 2*pi, piensalo, es como hacer el cilindro rodajas, no necesitas rodajas que vayan de -r a r, sino de 0 a r

[JiraiyA]

Re: pregunta sobre el calculo del momento de inercia de un cuerpo continuo

Hola

Tienes que establecer por conveniencia el origen de coordenadas en el centro geometrico del cilindro.De acuerdo a definicion :

$I= \int_{}^{} r^2 \mathrm{d}m$

estonces tomamos un elemento diferencial en coordenadas cilindricas.

$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}=\rho$


$\mathrm{d}V= r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$


$I= \int_{-\frac {h}{2}}^{\frac {h}{2}} {\int_0^{2\pi} {\int_0^r \rho.r^2.r \mathrm{d}r } \mathrm{d}\theta} \mathrm{d}z$


Esos son los limites,todo depende de la posicion de tu origen de coordenadas.Saludos

[polonio]

Re: pregunta sobre el calculo del momento de inercia de un cuerpo continuo

Aquí hay una cosa importante que aclarar: cuando calculamos el tensor de inercia o los momentos de inercia debemos decir respecto a qué punto y a qué ejes (centrados en este punto). Luego, ya elegimos las coordenadas más útiles según la simetría (esféricas, cilíndricas,...) y establecemos los límites de integración.

Así que para enunciar correctamente el problema se debe decir respecto a qué punto queremos hacer los cálculos: no es el centro, ni el centro de gravedad,... ni el que nos convenga: es el que nos digan.

No es lo mismo calcular los momentos de inercial respecto a ejes que pasen por el centro de masa que respecto a ejes que pasen por el centro de la base o por una generatriz o...

Otra cosa es que sea fácil calcularlos respecto al centro de masa y usemos el teorema de Steiner para calcularlo respecto a otros puntos en lugar de hacerlo directamente integrando.

Así que, para poder responder a lo de los límites: ¿respecto a qué ejes quieres calcular los momentos de inrecia? Si no sabemos esto, lo que se ha dicho no vale absolutamente para nada.


En el problema que se propone, nos dice claramente respecto a qué ejes los queremos calcular: en este caso, se toma origen en el centro, como te han dicho, y coordenadas cilíndricas, como también te han dicho.

JiraiyA te ha resuelto el problema de la primera figura que propones. Para la segunda, la distancia al cuadrado al eje es, en coordenadas cilíndricas $d^2=r^2 + z^2$, quedando la integral:

$I=\int _{-\frac{h}{2}} ^{\frac{h}{2}} \int _{0} ^{2 \pi} \int _{0} ^{r} \rho (r^2 + z^2) r dr d\theta dz$