1r ciclo Cuerpo Rigido rodadura

[Maxi232]

Un cilindro homogéneo de masa M y radio R, rueda sin deslizar sobre una superficie. El centro del cilindro se encuentra engarzado a un resorte de constante elástica K y longitud natural Lo, cuyo otro extremo está fijo.
Considere que el mecanismo de engarce carece de rozamiento

a)Halle la ecuación de movmimiento del cilindro y describa el movimiento que representa.

b) Indique que magnitudes se conservan durante el movimiento, justificando su respuesta

c) Si encontrandose el resorte en su longitud natural se le imprime al centro de masa del cilindro una velocidad inicial Vo hacia la derecha, halle lamaxima elongacion que alcanza el resorte.

DATOS:M,R, momento de inercia del cilindro [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ,k,Lo,Vo

Bueno necesitaria alguna ayuda para poder empezar a plantear los puntos, desde ya muchas gracias

[Jose D. Escobedo]

Re: Cuerpo Rigido rodadura

En el eje horizontal existen dos fuerzas interactuando, la de restitucion y la de rozamiento estatico y que de acuerdo con la segunda ley de newton esto es:

$-kx -f_r = m \ddot x$...(1)

Por otro lado tambien existe el momento de fuerzas que pormedio de lo que llamamos torque el cilindro rueda con ayuda de la fuerza de rozamiento estatico, entonces:

$\vec r \times \vec f_r = I \ddot \phi \hat k$

$\displaystyle \Rightarrow r f_r = \frac{1}{2} m r^2 \ddot \phi$ ...(2)

que teniendo en cuenta la condicion que el cilindro rueda $\dot x = r \dot \phi \Rightarrow \ddot x = r \ddot \phi$ (2) se tranforma en:

$\displaystyle f_r = \frac{1}{2} m \ddot x$ ...(2')

Finalmente como puedes ver de (1) y (2') se obtiene:

$\displaystyle \ddot x + \frac{2}{3} \frac{k}{m} x =0$

que es la ecuacion de movimiento. De aqui te sera facil contestar todo que en este problema se te pregunta.

[Maxi232]

Re: Cuerpo Rigido rodadura

Hola, gracias por contestar.

La ecuación 2 de donde sale? yo tengo definido que la sumatoria de los torques externos es igual al momento de incercia multiplicado por omega, porque pusiste la derivada segunda?.

Como es una rodadura no vale que el arco recorrido en un cierto intervalo de tiempo, es igual a la distancia recorrida horizontalmente?
Osea:

$\Omega\,\Delta\,t\,R=v\,\Delta\,t$
Entonces
$\Omega\,R=v$

Otra pregunta más, la fuerza de rozamiento estatico no realiza trabajo en este caso no?

[JiraiyA]

Re: Cuerpo Rigido rodadura

Hola la ecuacion 2 sale de la definicion.


$\sum_{}^{}\vec M =I_o .\vec \alpha$

$\vec M=\vec {r}X{\vec {F}}$

$\dot{\dot {\theta}}=\vec \alpha$

donde $\theta$ es el desplazamiento angular


No he leido el problema aun pero si es coeficiente de rozamiento estatico es por que todavia no hay movimiento y si no hay movimiento no efectua trabajo dicha fuerza

[Maxi232]

Re: Cuerpo Rigido rodadura

Estaria mal plantearlo de esta manera entonces?

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\Omega=\frac{V}{R}$

entonces

$\left |{fr}\right |=\frac{MV}{2}$

Y con eso reemplazar en la ecuación 1 que pusiste vos

$\dot\,\dot{x} + \frac{K}{M}x + \frac{V}{2}= 0$

[JiraiyA]

Re: Cuerpo Rigido rodadura

creo que estas confundiendo aceleracion angular con velocidad angular .la sumatoria de momentos es igual al momento de inercia por la aceleracion angular

pero $\frac {V}{R}$ es la velocidad angular , eso no va en la ecuacion 2.

PD:yo no puse las ecuaciones sino fue Jose escobedo

[Metaleer]

Re: Cuerpo Rigido rodadura

Si no te aclaras con el planteamiento de fuerzas, usa energías.

La energía potencial del muelle es

$\displaystyle \frac{1}{2}kx^2,$

Y la energía cinética del cilindro es

$\displaystyle \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}\frac{1}{2}MR^2 \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4}M v^2,$

ya que hay rodadura sin deslizamiento. Así

$\displaystyle E = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{3}{4}M v^2 \Rightarrow \text{La~energ\'{i}a~mec\'{a}nica~se~conserva}\Rightarrow 0 = \frac{dE}{dt} = k x \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} M v \frac{dv}{dt} \Rightarrow \{\frac{dx}{dt} = v, ~ \frac{dv}{dt} = a = \frac{d^2x}{dt^2}\} \Rightarrow kx + \frac{3}{2} M a = 0 \Rightarrow$
$\boxed{\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{2}{3}\frac{k}{M}x = 0,}$

que es la misma ecuación de movimiento que ha deducido Jose D. Escobedo.

Saludos.