1r ciclo Energia para destruir la tierra

[Lupus]

Hola a todos... Esta pregunta fue planteada en un exam de fisica 1 y dice esto:

Cuando se detonaron las primeras armas nucleares, algunos sectores se preocuparon porque pensaban en la posibilidad de una gran reccion nuclear en cadena que reduciria la tierra a fragmentos. Calcular la enegia necesaria para desarticular la tierra en fragmentos totalmente separados entre si. considere para la tierra una masa M y un radio R.

yo estaba pensando en usar la velocidad de escape y reemplarazarla en una diferencial de energia cinetica luego integrar de 0 a M... no se si me entienden weno estara bien mi razonamiento como seria la respuesta??

Gracias de antemano.

[Metaleer]

Re: Energia para destruir la tierra

Hola.

Para este problema tienes que tener en cuenta la densidad de energía gravitatoria

$\displaystyle -\frac{\vec{g}\cdot\vec{g}}{8 \pi G} = - \frac{g^2}{8 \pi G},$

para lo cual tienes que calcular el campo $\vec{g}$ del planeta Tierra. Esto a su vez requiere dos pasos: el campo dentro de la Tierra, y el campo fuera. Ambos se pueden abordar fácilmente con la ley de Gauss aplicada al vector $\vec{g}$. Cuando tengas el campo $\vec{g}$ lo único que tienes que hacer es integrar la densidad de energía gravitatoria a todo el espacio, pero como tienes dos regiones de $\vec{g}$, la primera integral iría de a $R$, y la segunda de $R$ a $\infty$, cogiendo un elemento diferencial de volumen $4 \pi r^2 dr$.

Bien, tal y como se ha propuesto, con esto calcularías la energía almacenada en el campo $\vec{g}$, que resulta ser un valor negativo, pues para obtener la densidad de energía gravitatoria, se ha hecho lo siguiente... nos imaginamos elementos diferenciales de masa situados en el infinito...calculamos el trabajo que hace falta para llevarlo desde el infinito hasta nuestro punto de interés. Calculamos el trabajo que hace falta para llevar una segunda masa infinitesimalmente pequeña desde el infinito hasta nuestro sistema de referencia, y así sucesivamente. Es decir, este proceso te daría la energía necesaria para crear el planeta Tierra; el signo negativo indica que el trabajo lo ha realizado el campo, pues las masas se atraen siempre. Para destruirlo, es decir, justo el proceso inverso al que se ha descrito antes, lo único que tienes que hacer es cambiarle el signo al resultado de la integral.

Te invito a que compruebes que la energía resulta ser

$\displaystyle E = \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R} = \frac{3}{5}\cdot \frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot (5,9742\cdot 10^{24})^2}{6378,1\cdot 10^3} = 2,23947 \cdot 10^{32}~ \text{J}.$

Saludos.