2o ciclo Problemas de Oscilaciones Amortiguadas - Forzadas

[Cactuz]

Tengo duda sobre los siquientes 2 ejercicios:

1.- [FONT=CMR12]Si la amplitud de un oscilador armonico amortiguado decrece a 1/[/FONT][FONT=CMMI12]e [/FONT][FONT=CMR12]veces su valor inicial despues de [/FONT][FONT=CMMI12]n [/FONT][FONT=CMR12]oscilaciones completas, encuentre la frecuencia [FONT=Calibri]ω[/FONT][FONT=Calibri]1[/FONT][/FONT][FONT=CMR12]del oscilador en funcionde [/FONT][FONT=CMMI12]n[/FONT][FONT=CMR12], la frecuencia natural del oscilador [FONT=Calibri]ω[/FONT][FONT=Calibri]o[/FONT][/FONT][FONT=CMR12], y el parametro de amortiguamiento [FONT=Times New Roman]β.[/FONT][/FONT]

[FONT=CMR12][FONT=Times New Roman](Aqui no sé como podria resolverlo)[/FONT][/FONT]
[FONT=CMR12]
[/FONT]
2.-

[FONT=CMR12]Un oscilador tiene por ecuacion de movimiento[/FONT]
[FONT=CMMI12]x'' [/FONT][FONT=CMR12]+ [/FONT][FONT=CMMI12]x [/FONT][FONT=CMR12]= cos([/FONT][FONT=CMMI12]t[/FONT][FONT=CMR12])[/FONT][FONT=CMMI12]:[/FONT]

[FONT=CMR12]a) Si las condiciones iniciales son [/FONT][FONT=CMMI12]x[/FONT][FONT=CMR12](0) = 0 y [/FONT][FONT=CMMI12]v[/FONT][FONT=CMR12](0) = 0, escriba la solucion a la ecuacion de movimiento dada.[/FONT]
[FONT=CMR12]b) Existen efectos transientes? Explique.[/FONT]
[FONT=CMR12]c) Obtenga la velocidad [/FONT][FONT=CMMI12]v[/FONT][FONT=CMR12]([/FONT][FONT=CMMI12]t[/FONT][FONT=CMR12]) del sistema.[/FONT]
[FONT=CMR12]d) Existe resonancia en el sistema? Justifique. Si su respuesta es afirmativa, obtenga w[/FONT][FONT=CMMI8][FONT=CMMI8]R [/FONT][/FONT][FONT=CMR12]y la amplitud en resonancia.[/FONT]

(Aqui obtuve la solucion particular la cual se me indetermina por tener β=0 y [FONT=Calibri]ωo=ω, de manera que mi Aout se indetermina.[/FONT]
[FONT=Calibri]Mientras que la solucion homogenea me dá 0, dadas las consiciones iniciales,)[/FONT]

[Marce_]

Re: Problemas de Oscilaciones Amortiguadas - Forzadas

Tengo duda sobre los siquientes 2 ejercicios:

1.- [FONT=CMR12]Si la amplitud de un oscilador armonico amortiguado decrece a 1/[/FONT][FONT=CMMI12]e [/FONT][FONT=CMR12]veces su valor inicial despues de [/FONT][FONT=CMMI12]n [/FONT][FONT=CMR12]oscilaciones completas, encuentre la frecuencia [FONT=Calibri]ω[/FONT][FONT=Calibri]1[/FONT][/FONT][FONT=CMR12]del oscilador en funcionde [/FONT][FONT=CMMI12]n[/FONT][FONT=CMR12], la frecuencia natural del oscilador [FONT=Calibri]ω[/FONT][FONT=Calibri]o[/FONT][/FONT][FONT=CMR12], y el parametro de amortiguamiento [FONT=Times New Roman]β.[/FONT][/FONT]

[FONT=CMR12][FONT=Times New Roman](Aqui no sé como podria resolverlo)[/FONT][/FONT]


2.-

[FONT=CMR12]Un oscilador tiene por ecuacion de movimiento[/FONT]
[FONT=CMMI12]x'' [/FONT][FONT=CMR12]+ [/FONT][FONT=CMMI12]x [/FONT][FONT=CMR12]= cos([/FONT][FONT=CMMI12]t[/FONT][FONT=CMR12])[/FONT][FONT=CMMI12]:[/FONT]

[FONT=CMR12]a) Si las condiciones iniciales son [/FONT][FONT=CMMI12]x[/FONT][FONT=CMR12](0) = 0 y [/FONT][FONT=CMMI12]v[/FONT][FONT=CMR12](0) = 0, escriba la solucion a la ecuacion de movimiento dada.[/FONT]
[FONT=CMR12]b) Existen efectos transientes? Explique.[/FONT]
[FONT=CMR12]c) Obtenga la velocidad [/FONT][FONT=CMMI12]v[/FONT][FONT=CMR12]([/FONT][FONT=CMMI12]t[/FONT][FONT=CMR12]) del sistema.[/FONT]
[FONT=CMR12]d) Existe resonancia en el sistema? Justifique. Si su respuesta es afirmativa, obtenga w[/FONT][FONT=CMMI8][FONT=CMMI8]R [/FONT][/FONT][FONT=CMR12]y la amplitud en resonancia.[/FONT]

(Aqui obtuve la solucion particular la cual se me indetermina por tener β=0 y [FONT=Calibri]ωo=ω, de manera que mi Aout se indetermina.[/FONT]
[FONT=Calibri]Mientras que la solucion homogenea me dá 0, dadas las consiciones iniciales,)[/FONT]

Antes que nada, en el primer ejercicio se me hizo imposible expresar la pulsación $\omega_1$ UNICAMENTE en función de los parámetros que te piden. Te cuento más o menos que es lo que intenté hacer.

Si el oscilador está amortiguado, su amplitud decrece exponencialmente con el tiempo según esta expresión:

$A(t)=A_0.e^{- \gamma.t}$

Donde: $\gamma=\frac{\beta}{2m}$

Usando los datos que nos dieron, sabemos que $t=n.T_1$ donde $n$ es el número de oscilaciones completas y $T_1$ es el pseudoperiodo.

Reemplazamos, sabiendo que $T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\omega_1=\frac{\beta.n.\pi}{m}$

Ahora, sabiendo que en el caso de un resorte unido a una masa, $\omega_0 ^2=\frac{k}{m}$, multiplicamos la expresión anterior por $k$, haciendo "aparecer" a $\omega_0$, obteniendo finalmente que:

$\boxed{\omega_1=\frac{\beta.n.\pi.\omega_0^2}{k}}$

(Sería bárbaro si pudieras constatar que el resultado es válido y si existe alguna manera de expresarlo solo en los parámetros que piden).

En el segundo ejercicio me parece que resolviste mal la ecuación diferencial. Si te abocas a obtener una resolución puramente matemática, queda algo así (si no le pifié en algo):

$X_h(t)=A.\cos{t}+B.\sin{t}$

$X_p(t)=\frac{1}{2}t.\sin{t}$

$\boxed{X_g(t)=\frac{1}{2}\cos{t}+\frac{1}{2}t\sin{t}}$

Acordate del modelo de un oscilador amortiguado:

$mx^{''}(t)+kx(t)=F_d$

Donde: $F_d=- \beta x^{'}(t)$

Un abrazo.-

[Jose D. Escobedo]

Re: Problemas de Oscilaciones Amortiguadas - Forzadas

Me luce que la solucion es:
$\displaystyle x=\frac{1}{2} t \sin t$
para el problema #2.

Porque para esta expresion
$\displaystyle x = \frac {1}{2} \cos t + \frac{1}{2} t \sin t$
no se cumple la condicion inicial $x(0)=0$

[Marce_]

Re: Problemas de Oscilaciones Amortiguadas - Forzadas

Me luce que la solucion es:
$\displaystyle x=\frac{1}{2} t \sin t$
para el problema #2.

Porque para esta expresion
$\displaystyle x = \frac {1}{2} \cos t + \frac{1}{2} t \sin t$
no se cumple la condicion inicial $x(0)=0$

Mucha razón, en algo le había pifiado nomás

Gracias!.

Un abrazo.-