Otras carreras Centro de masas.

[Joey]

Mi duda es sobre un problema de geometría de masas.

Problema en cuestión:

La masa de una esfera maciza homogenea se ha reducido al 30% practicando en su interior una oquedad esférica tangente a la superficie. La esfera así alineada permanece en equilibrio con el centro de masas a la altura del centro geométrico, sujeta a un hilo horizontal y apoyada en un plano sin rozamiento. El punto de contacto con el plano y el de sujeción del hilo están en la misma vertical. Determinar el ángulo de la inclinación del plano.

Así lo he hecho.



Suma de fuerzas = 0

$\vec{i}: -T + N \sin \theta = 0 => T= mg \tan \theta$

$\vec{j}: -mg + N \cos \theta = 0 => N=\frac {mg}{\cos \theta}$

Suma de momentos en O = 0

$\vec{k}: TR \cos \theta - mg\vec {OG}= 0 => \sin \theta = \frac {\vec{OG}}{R}$


Pero ahora debo saber el valor de OG en función de R, que es la distancia del centro geométrico al centro de masas. Esa es mi pregunta. ¿Cómo se calcula?

-saludos y gracias.

[ser humano]

Re: Centro de masas.

hola, yo lo calcule de la siguiente manera:
primero hay que tener en cuenta que si el centro de masa se manetiene a la altura del centro geometrico, es porque la oquedad esta ubicada de la manera en que se aprecia en la imagen adjunta (es decir, simetrica con respecto a la recta que pasa por el centro geometrico y el centro de masa).
teniendo en cuenta esto, primero nos convendria averiguar que porcentaje del diametro de la esfera con masa, tiene la esfera sin masa (la oquedad).
teniendo el dato del porcentaje de volumen que tiene (porque al ser homogenea la masa, el porcentaje de masa faltante es igual al de volumen faltante), podemos expresar el volumen de la esfera vacia de la froma $\frac{V}{3}=\frac{4 r^3}{3} \pi$ (1)
siendo V el volumen de la esfera de masa mas el volumen de la esfera sin masa, y siendo r el radio de la esfera sin masa.
por otra parte $V=\frac{4 R^3}{3} \pi$ (2)
siendo R el radio de la esfera con masa.
sustituyendo (2) en (1), resolviendo y despejando queda la siguiente relacion entre radios:

$r=\frac{R}{3^\frac1 3}$ (lo puse como exponente fraccionario porque no supe como poner con el programa a la raiz de indice tres)

teniendo este dato se puede graficar la esfera faltante de la esfera total. al ser uniforme (ya que no tiene masa) su hipotetico "centro de masa" (que ironico) estaria en su centro geometrico.
lo que tenes que calcular es el centro la posicion del centro de masa entre la esfera de masa M (la mayor) y la de masa $\frac {-M} 3$ (aca la masa es negativa porque es un faltante de masa).

entonces la posicion del centro de masa con respecto al centro geometrico seria (anotalo en un papel porque lo redacto)
menos un tercio de M sobre dos tercios de M, todo multiplicado por la diferencia entre dos veces el radio de la esfera vacia (su diametro) menos el radio de la esfera de masa. a todo esto se le suma a la razon entre M y dos tercios de M, multiplicado por cero (todo esta ultima expresion por lo tanto da cero).
entonces lo unico en particular que estas haciendo es tomar a el faltante de masa como un valor negativo.

yo lo resolvi y me queda solo en funcion de la masa de la masa de la esfera (la qeu tiene masa, claro) y la tension. si queres que deje la resolucion me avisas, y si encontras algun error tambien, gracias

[Joey]

Re: Centro de masas.

Tienes un error de aplicación de datos. La reducción al 30% es de 3/10, no de 1/3 que sería de 33,33%. Por lo que se seduce en un 70% que es 7/10.

entonces la posicion del centro de masa con respecto al centro geometrico seria (anotalo en un papel porque lo redacto)
menos un tercio de M sobre dos tercios de M, todo multiplicado por la diferencia entre dos veces el radio de la esfera vacia (su diametro) menos el radio de la esfera de masa. a todo esto se le suma a la razon entre M y dos tercios de M, multiplicado por cero (todo esta ultima expresion por lo tanto da cero).
entonces lo unico en particular que estas haciendo es tomar a el faltante de masa como un valor negativo.

yo lo resolvi y me queda solo en funcion de la masa de la masa de la esfera (la qeu tiene masa, claro) y la tension. si queres que deje la resolucion me avisas, y si encontras algun error tambien, gracias

Esto no lo entiendo, ¿en que te vasas para sacar el centro de masa entre dos esfera?

Por otra parte, tensión y masa no son datos, por lo que el resultado no puede estar en función de estas. Me vendría bien ver como lo has hecho.

gracias

[Joey]

Re: Centro de masas.

Lo he calcula do de esta forma, pero no se si está horriblemente mal, o se peude hacer así.

Calculo la posición del centro de masas (de la esfera negativa) en el eje OX, ya que en OY y OZ no varia por estar en la misma recta.

R es el radio de la esfera hueca, y r el radio del hueco.
Haciendo lo que ser humano hizo antes queda que:

$r=\frac{7^\frac1 3}{10^\frac1 3}R$

Ahora bien, siendo Xgr la posición del centro de masa y el centro geométrico del hueco esférico.

$Xg = \frac{1}{m} \int x dm$

Como la masa es -0,7 la masa inicial.

$Xgr = \frac{1}{-0,7m} \int x dm$

$Xgr = R - r = R - \frac{7^\frac1 3}{10^\frac1 3}R$

Por lo que:
$\int x dm = -0,7 mR (1 - \frac{7^\frac1 3}{10^\frac1 3})$


Trasladamos esto a Xg de la esfera hueca (no del hueco esférico) que es la OG que busco, donde la masa es 0,3 la masa incial:

$Xg = OG = \frac{1}{0,3m} \int x dm$

Sustituyo la integral por su valor:

$OG = Xg = \frac{1}{0,3m} (-0,7 mR (1 - \frac{7^\frac1 3}{10^\frac1 3}))$

$OG = - \frac{7}{3}R (1 - \frac{7^\frac1 3}{10^\frac1 3})$


¿Es correcto este procedimiento?

[Fastolfe]

Re: Centro de masas.

Buenas, muchas vueltas para una cosa tan obvia, el centro de masas para un cuerpo homogeneo debe cumplir con el principio de superposicion. Por lo tanto, solo se debe saber el radio del sacado que le hicieron a la esfera:

$\displaystyle V_{hueco}=\frac{3}{10}\cdot V_{esfera}\rightarrow r=\left(\frac{3}{10}\right)^\frac{1}{3}\cdot R$

el resto es solo principio de superposicion, aplicando como eje cordenado el punto de contacto de la esfera (tangente) y el hueco:

$\displaystyle r_G=\frac{V\cdot R-\frac{3}{10}\cdot V\cdot r}{\frac{7}{10}\cdot V}=\left(\frac{10}{7}-\frac{3}{7}\left(\frac{3}{10}\right)^\frac{1}{3}\right)\cdot R$

Es decir, la distancia que solicitas sera:

$\displaystyle\bar{OG} =r_G-R=\frac{3}{7}\cdot\left(1-\left(\frac{3}{10}\right)^\frac{1}{3}\right)\cdot R$

Ya con esta distancia se te solucionan todos tus problemas, ya que muchas integrales pueden arruinarte la imaginación a veces.
A parte, tu sumatoria de momentos esta erronea, corrigela y te saldra.

[ser humano]

Re: Centro de masas.

Tienes un error de aplicación de datos. La reducción al 30% es de 3/10, no de 1/3 que sería de 33,33%. Por lo que se seduce en un 70% que es 7/10.

tenes razon, no me habia dado cuenta

Esto no lo entiendo, ¿en que te vasas para sacar el centro de masa entre dos esfera?

saco el centro de masa entre dos masas puntuales, en este caso los centro de masa de las dos esferas , una con masa positiva y la otra negativa.

Por otra parte, tensión y masa no son datos, por lo que el resultado no puede estar en función de estas

ah, como no habias especificado que datos se tenian, no sabia en funcion de que ponerlo

creo que no es necesaria la resolucion, porque parece que ya esta resuelto el problema

[Joey]

Re: Centro de masas.

Gracias por la ayuda. Pero si aplicas bien los datos, lo que es una reducción al 30% que es una reducción del 70% tu resultado es el mismo que el mio.

Por lo que deduzco que aunque más rara la forma en la que lo he resuelto también es correcta, ¿no?.

[ser humano]

Re: Centro de masas.

hola, la verdad que me parece bastante coincidente como para ser casual que nos haya dado el mismo resultado con procedimientos diferentes, estoy tentado a decir que ambos estan bien, o que ambos comparten un supuesto, que esta mal y por lo tanto fallamos en lo mismo.
estuve viendo tu resolucion, y no logro comprender lo siguiente:
$Xgr = R - r$
¿esto no seria correcto en el caso de que el diametro de la esfera vacia sea igual al radio de la esfera con masa?. porque lo que si sabemos es que el centro de masa de la esfera sin masa esta en su centro geometrico.
porque en el caso de que el diametro de la esfera sin masa sea mayor al radio de la esfera con masa, la diferencia de los radios no va a dar justo en el centro geometrico de la esfera sin masa.
realmente te agradeceria que me aclares este punto, espero no haber interpretado mal tu resolucion.

Trasladamos esto a Xg de la esfera hueca (no del hueco esférico) que es la OG que busco, donde la masa es 0,3 la masa incial

¿no es el 0.7 de la masa inicial?

espero que tengas la amabilidad de responderme, saludos!

[Joey]

Re: Centro de masas.

A ver si te respondo de forma que se me entienda.

La primero:

Llamo $Xgr$ al centro de masas del hueco esférico, que está en su centro geométrico y $r$ a su radio. Como el enunciado dice que el hueco es tangente a la esfera huca de radio $R$ la posición del centro del hueco es

$Xgr = R - r$


Lo segundo:

El ennunciado dice que se le aplica una reducción al 30%. Es decir si en un principio tenemos un $V$ al final tenemos el 30% de $V$ que es $0,3V$. La masa igual si al principio tenemos $m$ al final tenemos $0,3m$.

Es el hueco el que tiene un volumen de 0,7 y una masa de -0,7.

[petruxx]

Re: Centro de masas.

Mi duda es sobre un problema de geometría de masas.

Problema en cuestión:



Suma de fuerzas = 0
i: -T + Nsen = 0 => T= mg tg
j: -mg + Ncos = 0 => N= mg/cos
Suma de momentos en O = 0
k: TRcos - mgOG = 0 => sen = R/OG

Pero ahora debo saber el valor de OG en función de R, que es la distancia del centro geométrico al centro de masas. Esa es mi pregunta. ¿Cómo se calcula?

Esta basicamente bien planteado. Dos puntualizaciones:

a) La masa no va a influir en el problema. Conseguido el equilibrio que te piden, aumentar o disminuir la masa no hace perder el equilibrio al sistema.
b) La suma de momentos es en el punto G, no en el punto O. Esto es logico, el centro de masas es G, no es O.

Puedes comprender esto facilmente si piensas en toda la masa concentrada en un solo punto, el G. Si miras la figura de esa forma ya no hay esfera, solo un punto de masa m y unos vectores de fuerzas el mg, el T y N que estan colocados en los vertices de un triangulo isoceles.

Ahora:

Equilibrio de fuerzas en G:

==> mg = N cos("alfa")
==> T= N sen("alfa")

Suma de momentos en G:

==> T sen("beta") = T_tangecial = N_tangencial = N cos("alfa"+"beta")


La condicion de equilibrio queda entonces, si sustituyes T por su valor y eliminas N, como:

sen("alfa") · sen("beta") = cos ("alfa"+"beta")

Donde el "beta" es "la mitad" del angulo del triangulo isoceles en el vertice G.

[Joey]

Re: Centro de masas.

El problema es estático, en estática puedo tomar momentos en cualquier punto, ya que todos son fijos. Por lo que la suma de momentos la puedo ralizar en O aunque este no sea el centro de masas.

Y el problema para tomar momentos es que G es un punto del que no conocemos las coordenadas, y es lo que hay que averiguar para completar el problema.

Te diriría que leyeras bien el enunciado.

Y tu suma de momentos no la entiendo muy bien, pero parece que no tienes en cuenta las distancias a al punto de aplicación

Te pongo otra vez como hice la suma de momentos.

Suma de fuerzas = 0

$\vec{i}: -T + N \sin \theta = 0 => T= mg \tan \theta$

$\vec{j}: -mg + N \cos \theta = 0 => N=\frac {mg}{\cos \theta}$

Suma de momentos en O = 0

$\vec{k}: TR \cos \theta - mg\vec {OG}= 0 => \sin \theta = \frac {\vec{OG}}{R}$

[ser humano]

Re: Centro de masas.

El ennunciado dice que se le aplica una reducción al 30%. Es decir si en un principio tenemos un $V$ al final tenemos el 30% de $V$ que es $0,3V$. La masa igual si al principio tenemos $m$ al final tenemos $0,3m$.

Es el hueco el que tiene un volumen de 0,7 y una masa de -0,7.

uh, habia entendido cualquier cosa. yo crei que la esfera reducia un treinta por ciento su masa, no que se reducia al treinta por ciento.

gracias por la respuesta

[ser humano]

Re: Centro de masas.

El ennunciado dice que se le aplica una reducción al 30%. Es decir si en un principio tenemos un $V$ al final tenemos el 30% de $V$ que es $0,3V$. La masa igual si al principio tenemos $m$ al final tenemos $0,3m$.

Es el hueco el que tiene un volumen de 0,7 y una masa de -0,7.

uh, habia entendido cualquier cosa. yo crei que la esfera reducia un treinta por ciento su masa, no que se reducia al treinta por ciento.

La primero:

tenes razon

gracias por la respuesta

el problema ya esta resuelto

[petruxx]

Re: Centro de masas.

El problema es estático, en estática puedo tomar momentos en cualquier punto, ya que todos son fijos. Por lo que la suma de momentos la puedo ralizar en O aunque este no sea el centro de masas.

No lo se. Yo la realice en G porque alli es donde esta concentrada la masa. Si dices que es igual, entonces lo que yo he hecho no puede estar mal.

Y el problema para tomar momentos es que G es un punto del que no conocemos las coordenadas, y es lo que hay que averiguar para completar el problema.

Eso sueke pasar mucho en fisica. Lo que se suele hacer es engañarse uno a si mismo y creerse que si se conoce. Pones las ecuaciones y luego estas te permiten aberiguarlo:

"conociendo "alfa", "beta" y "R" lo puedes calcular ( 2 · "beta" =< "alfa" , por diseño del problema)

Te diriría que leyeras bien el enunciado.

Ya me arrepenti de leer el enunciado

Y tu suma de momentos no la entiendo muy bien, pero parece que no tienes en cuenta las distancias a al punto de aplicación

Bien o mal si que las he considerado. Las distancias son iguales por tratarse de un triangulo isoceles.

Te pongo otra vez como hice la suma de momentos.

Suma de fuerzas = 0

$\vec{i}: -T + N \sin \theta = 0 => T= mg \tan \theta$

$\vec{j}: -mg + N \cos \theta = 0 => N=\frac {mg}{\cos \theta}$

Suma de momentos en O = 0

$\vec{k}: TR \cos \theta - mg\vec {OG}= 0 => \sin \theta = \frac {\vec{OG}}{R}$

Pues que quieres que te diga ... esta bien. Ya lo tienes solucionado:

$\vec{OG}= R \sin \theta$

No se que mas quieres. ¿ Una chocolatina ?

P.D Soy tonto.! Es la ultima vez que pico !

[Joey]

Re: Centro de masas.

"conociendo "alfa", "beta" y "R" lo puedes calcular ( 2 · "beta" =< "alfa" , por diseño del problema)

Precisamente los ángulos son la incógnita del problema.

Bien o mal si que las he considerado. Las distancias son iguales por tratarse de un triangulo isoceles.

En la suma de momento la distanca al punto de aplicación no se mide desde el punto donde se aplica la fuerza en el sólido. Lo que tienes que medir es la distancia a la recta soporte de esa fuerza, recuerda que las fuerzas son vectores deslizantes.

Así que eso del triangulo está como poco muy mal

Pues que quieres que te diga ... esta bien. Ya lo tienes solucionado:

$\vec{OG}= R \sin \theta$

El ángulo es la incógnita del problema, lo que yo pedía es como se calcula la posición del centro de masas que es lo que ha hecho Fastolfe y ser humano. Para así poder terminar el problema.

No se que mas quieres. ¿ Una chocolatina ?

P.D Soy tonto.! Es la ultima vez que pico !

No se porqué te picas. Pero si quieres ayudar trata de leerte bien lo que escriben los demás para evitar confusiones.

-un saludo. Y gracias por vuestro tiempo.