Otras carreras ¿desafios? con momento de inercia

[ser humano]

hola, lo que ahora les voy a presentar son situaciones (que invente yo) pero que no estoy seguro que mi resolucion sea valida. me gustaria , en el caso de que alguno pueda, que lo resuelva asi miro que es lo que no estoy teniendo en cuenta y puedo yo tambien resolverlo (en el caso de que lo que este haciendo este mal). ademas, como a mi criterio, no parecen sencillos puede que les este presentando un desafio (se que no para todos sera asi).
el objetivo para ambas situaciones es hallar el momento de inercia del cuerpo rigido.
el primer grafico es el de una barra de longitu L que tiene una masa m homogenea desde su extremo superior hasta una distancia de $\frac L 3$ hacia abajo, en donde tiene una porcion de longitud $\frac L {12}$ de masa M (siendo esta porcion homogenea). superado desde el fin de esta porcion hasta el extremo inferior de la barra, vuelve a tener una masa homogenea, de la misma densidad que el extremo superior.
la consigna es hallar el momento de inercia con respecto al extremo superior de la barra.

la segunda situacion es mas compleja aun, se tiene un disco (un cilindro) de radio R y espesor L en donde estan incrustadas dos esferas de radio h y H respectivamente. el centro geometrico de las esferas y del cilindro estan en un plano paralelo a la base del cilindro. la esfera de radio H tiene masa M, y la de h, masa m, ambas homogeneas. la parte del disco en donde no estan las esferas tiene masa K tambien homogenea. la recta que pasa por el centro geometrico del disco y el centro de la esfera de radio h dista 165° de la recta que pasa por el centro geometrico del disco y el centro de la esfera de radio H (ver figura). la esfera de masa M es tangente al disco, mientras que la otra esfera dista $\frac R 4$ de la superficie de esta.
nuevamente la consigna es hallar el momento de inercia, pero esta vez desde el centro geometrico del cilindro.

a mi se me ocurre resolverlo asi:
empiezo resolviendo la cantidad de masa que tiene la ultima seccion de la barra, que al tener la misma densidad que la primera la puedo hallar con proporcionalidad
$\frac {m}{\frac L 3} = \frac {x}{\frac {7L}{12}}$, siendo x la masa que quiero saber, daria que $x=\frac {7m}{4}$.

para la barra tomo como si fueran tres cuerpos diferentes y hallo la ubicacion del centro de masa de cada uno con respecto al extremo superior. como todos son homogeneos su centro de masa estaria en su centro geometrico, por lo que tendria al cuerpo superior, al medio y al inferior, con centros de masa ubicados en $\frac L 6$, $\frac{3L}{8}$ y $\frac {17L}{24}$ respectivamente. teniendo el centro de masa y la masa de cada uno de los cuerpos, los tomo como puntuales y resuelvo el momento de inercia para un sistema de particulas puntuales, lo que seria:
$I= m(\frac L 6)^2 + M(\frac{3L}{8})^2 + (\frac {7m}{4})(\frac {17L}{24})^2$ por lo que $I= L^2 (\frac{9m}{10}+ \frac{9M}{64})$.

¿es correcta esta resolucion? ¿se les ocurre alguna otra?

mas tarde escribo la resolucion para el segundo problema, pero es de forma analoga a este (solo que lleva mas tiempo encontrar los datos para hacer la resolucion)

[Joey]

Re: ¿desafios? con momento de inercia

Lo he hecho de una manera un poco cutre, no se si estará bien.

Primero calculo la masa total de la varilla.

La masa del primer tramo es $m_1 = m$ y su densidad lineal es $\lambda = \frac {3m}{L}$

La del segundo trama es $M$

Y la del tercer tramo que mide $\frac {7L}{12}$ es $m_2 = \frac {7L}{12} \frac {3m}{L} = \frac {21m}{12}$

Por lo que la masa total de la varilla es:

$m = m_1 + m_2 + M = \frac {33m}{12} + M$


Momento de un varilla de masa $\frac {33m}{12} + M$y longitud $L$ en uno de sus extremos.

$<br /> I_o = \frac {1}{3} (\frac {33m}{12} + M) L^2<br />$

[ser humano]

Re: ¿desafios? con momento de inercia

Momento de un varilla de masa $\frac {33m}{12} + M$y longitud $L$ en uno de sus extremos.

$<br /> I_o = \frac {1}{3} (\frac {33m}{12} + M) L^2<br />$

¿esto no seria aplicable en el caso de que fuese homogenea la masa de a varilla?

[Joey]

Re: ¿desafios? con momento de inercia

¿esto no seria aplicable en el caso de que fuese homogenea la masa de a varilla?

Si. Pero como la masa está definida se puede aplicar, ¿no?. La verdad es que no estoy seguro.

¿Como lo has hecho tu?

¿Se puede hacer calculando el momento de cada tramo en el extremo y sumarlos?

Me explico, calculo el momento de cada tramo homogeneo en el centro. Luego aplicamos steiner y calculamos el momento de todos en el extremo, y se suma. ¿Se podría así?

[ser humano]

Re: ¿desafios? con momento de inercia

Si. Pero como la masa está definida se puede aplicar, ¿no?. La verdad es que no estoy seguro.

creo que no, porque aunque tenemos la masa total, no tenemos una densidad uniforme. la distribucion influye en el momento de inercia, por ejemplo si tenemos una barra de longitud L, de masa m, y densidad uniforme, su momento de inercia con respecto a su centro de masa seria $I=\frac{ mL^2}{12}$, y si tenemos dos bloques de masa $\frac{ m} 2$ cada uno unidos por un alambre de masa despreciable, su momento de inercia con respecto a su centro de masa (que se ubica en el mismo lugar que el de la barra) seria $I=\frac{mL^2}{8} + \frac{mL^2}{8} = \frac{mL^2}{4}$, teniendo un momento de inercia mayor a la barra, que tenia la misma longitud y el mismo centro de masa, pero diferente distribucion de la masa.

¿Como lo has hecho tu?

fijate que mi resolucion esta al final del problema

¿Se puede hacer calculando el momento de cada tramo en el extremo y sumarlos?
Me explico, calculo el momento de cada tramo homogeneo en el centro. Luego aplicamos steiner y calculamos el momento de todos en el extremo, y se suma. ¿Se podría así?

la verdad que no se, y si se podria tampoco sabria por que es que se puede