Avanzado Diagrama de fase

[Aradan]

Tengo más dudas

Tengo la ecuación de movimiento
$\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

Y la solución se puede expresar como

$x = A e^{-\beta t} \cos (\omega_1 t - \delta)$

Cuandos e hace un cambio de variables adecuado ($u=\omega_1 x$ y $w=\beta x + \dot{x}$, se puede llegar a una forma de coordenadas polares para graficar w versus u

$u=\omega_1 A e^{-\beta t} \cos (\omega_1 t - \delta)$
$w= - \omega_1 A e^{-\beta t} \sin (\omega_1 t - \delta)$

y luego dice el texto (porque es una transformacion lineal) que el gráfico de $\dot{x}$ versus x debiera tener la misma forma.
Una de mis dudas es: si w tiene un signo menos, cómo se podría graficar en forma polar

Lo otro, tratando de encontrar una forma directa de hacer el diagrama de fase, hago

$\frac{dx}{dt}=\dot{x}$
y con la ecuación de movimiento
$\ddot{x} = -2\beta \dot{x} - \omega_0^2 x$

Divido por dx/dt y me queda

$\displaystyle{\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{-2\beta \dot{x} - \omega_0^2}{\dot{x}}}$

Y no se como resolver esta ecuación. La puse en un software y no la puede resolver

No se si hay otra forma de hacer el diagrama que ya no se me ocurre
Es fácil cuando $\beta=0$ (no hay fricción) pero ene ste caso no se me ocurre como, o quizás solo se haga de la primera forma que expuse

Gracias

[Marce_]

Re: Diagrama de fase

Tengo más dudas

Una de mis dudas es: si w tiene un signo menos, cómo se podría graficar en forma polar

Si vos hacés un cambio de coordenadas:

$\displaystyle x = \rho\cos\theta$

$\displaystyle y = - \rho\sin\theta$

Ese signo menos se puede contrarrestar eligiendo un intervalo adecuado para $\displaystyle \theta$.

Por ejemplo, si vos querés representar una circunferencia centrada en el origen con $\displaystyle 0\leq\theta\leq2\pi$, vas a ver que el signo menos lo único que hace que el vector la dibuje en sentido levógiro o no te describa la geometría si es solo un trozo de circunferencia.

Lo otro, tratando de encontrar una forma directa de hacer el diagrama de fase, hago

$\frac{dx}{dt}=\dot{x}$
y con la ecuación de movimiento
$\ddot{x} = -2\beta \dot{x} - \omega_0^2 x$

Divido por dx/dt y me queda

$\displaystyle{\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{-2\beta \dot{x} - \omega_0^2}{\dot{x}}}$

Y no se como resolver esta ecuación. La puse en un software y no la puede resolver

No se si hay otra forma de hacer el diagrama que ya no se me ocurre
Es fácil cuando $\beta=0$ (no hay fricción) pero ene ste caso no se me ocurre como, o quizás solo se haga de la primera forma que expuse

Gracias

Con diagrama de fase te referís al transitorio x Vs t?, porque si te fijas en la solución de la ecuación diferencial, es un coseno modelado por dos exponenciales (movimiento oscilatorio amortiguado)

Un abrazo.-

[Aradan]

Re: Diagrama de fase

Gracias, lo de las polares me queda claro

Lo del diagrama de fase, es el gráfico de $\dot{x}$ versus $x$

La gráfica de hecho, debiera ser una espiral (el movimiento decae con la exponencial), pero intentaba buscar una forma de obtenerlo directamente de las x y no mediante la forma polar por el cambio de variables

[Marce_]

Re: Diagrama de fase

Volviendo al primer mensaje:

$\displaystyle \frac{dv}{dx} = \frac{Cv + D}{v}$

$\displaystyle \frac{dx}{dv} = \frac{v}{Cv + D}$

$\displaystyle x(v) =\int(\frac{v}{Cv + D})dv.$

Si $\displaystyle u = Cv + d$ entonces $\displaystyle du = vdv$

$\displaystyle x(v) =\int\frac{1}{u}du.$

$\displaystyle x(v)=ln(Cv + D) + A$

$\displaystyle \boxed{ v(x)=\frac{e^{(x - A)} - D}{C}}$

La ecuación por lo menos tiene resolución. Habrá que ver si realmente refleja lo mismo. Todavía no logro comprender la necesidad de trabajar en coordenadas polares. Me dirías que libro de texto es?

Un abrazo.-

[Aradan]

Re: Diagrama de fase

Disculpas, había un error de tipeo , si te fijas en el despeje que hice en las ecuaciones más arriba, debería quedar

$\displaystyle{\frac{dv}{dx}=\frac{-2\beta v-\omega_0^2 x}{v}}$

Y esa es complicada
El texto es Classical Dynamics of Particles and Systems de los autores Marion y Thornton

[Aradan]

Re: Diagrama de fase

Ya encontré la forma de graficarlo directamente

Lo hice en forma paramétrica con un software (Mathematica), tan solo habia que escribirlo en la forma $(x,\dot{x})$ con el parámetro $t$ (de la cual dependen ambas funciones) y salió como esperaba

Gracias por su tiempo

[Marce_]

Re: Diagrama de fase

Ya encontré la forma de graficarlo directamente

Lo hice en forma paramétrica con un software (Mathematica), tan solo habia que escribirlo en la forma $(x,\dot{x})$ con el parámetro $t$ (de la cual dependen ambas funciones) y salió como esperaba

Gracias por su tiempo

Así es como está construido el gráfico $\displaystyle v(x)$ en el libro.


Creo que la ecuación diferencial tiene solución, pero es de otro planeta. El gráfico debería ser exáctamente igual al de $\displaystyle v(x)$. Te la dejo por si querés comprobarlo.

$\displaystyle \frac{dv}{dx} = -\frac{(2\beta v + \omega_{0}^{2}x)}{v}$

Si dividimos el numerador y el denominador derecho por $\displaystyle x$ :

$\displaystyle \frac{dv}{dx} = -\frac{(2\beta\frac{v}{x} + \omega_{0}^{2})}{\frac{v}{x}}$

Llamando $\displaystyle h(x,v)=\frac{v}{x}$:

$\displaystyle \Rightarrow v=hx$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{dv}{dx} = \frac{dh}{dx}x + h$

Reemplazando y operando, llegué a la siguiente expresión:

$\displaystyle \boxed{\int\frac{dx}{x} = \int\frac{hdh}{-(h^2 + 2\beta h + \omega_{0}^2)}}$

La de la derecha está en tablas, pero te va asustar la solución jjjajaja. Muy bueno el libro!, no lo conocía.

Un abrazo.-


PD:

[ser humano]

Re: Diagrama de fase

PD:

[Aradan]

Re: Diagrama de fase



Excelente, pensé que era mucho más difícil de solucionar o solo s epodría hacer numéricamente, de todas formas , como dices, la solución que se obtiene asusta jajaja por algo sale mejor graficarlas paramétricamente o en en forma polar