1r ciclo Leyes de Kepler

[woodyalex]

Hola tengo la siguiente duda: las leyes de Kepler dicen que las orbitas de los planetas barren areas iguales para tiempos iguales, es decir v1*r1=v2*r2, pero yo lo que no se es si esto se aplica a la orbita de un planeta solo consigo mismo o con otros , es decir, ¿es correcto afirmar que el area que barre venus en una hora es la misma que la que barre la Tierra ;v(Venus)*r(Venus=v(Tierra)*r(Tierra)? o solo seria correcto decir que Venus barre la misma area de digamos 2 a 3 que de 8 a 9, pero que esta es distinta a la que barre la Tierra en ese periodo de tiempo, es decir,
v(Venus)*r(Venus)=v´(Venus)*r´(Venus) pero distinto a :
v(Tierra)*r(Tierra)=v´(Tierra)*r´(Tierra)
GRACIAS

[ser humano]

Re: Leyes de Kepler

hola. primero aclaremos, lo que enuncia la primera ley de kepler esta referido solo a las areas recorridas dentro de la misma orbita y no relaciona a los diferentes cuerpos celestes que orbitan al mismo astro.
pero, de todas formas, podemos analizar si se cumple de la manera en que lo planteas.
vamos a tomar orbitas circuares solo para simplificar los calculos y para que sea mas notable la conclusion. esto no sera un problema, ya que de no cumplirse en este tipo de orbitas, la generalizacion no es valida (pero en el caso de cumplirse no es suficiente para generalizar).
tomemos a $P_1$ y $P_2$ orbitando de manera circular el mismo cuerpo de masa M (yo los dibuje por separado para que se viera mas claramente su situacion. la distancia que separa a $P_1$ de M, es en todo momento $a$, y la que separa a $P_2$ es $2a$.
segun la tercera ley de kepler, podriamos decir que $\frac{a^3}{T^2} = M$ (1) , siendo T el periodo de $P_1$, y que $\frac{8a^3}{t^2}$(2) siendo t el periodo de $P_2$ (despreciando las masas de ambos P, por ser despreciables con respecto a la masa M)

despejando M de (2), sustituyendolo en (1) y resolviendo, queda:

$T = \frac{t}{4 \sqrt 2}$

lo que nos indica que $P_2$ tarda mas de cinco veces lo que tarda $P_1$ en transcribir su orbita.
ahora comparemos las areas de ambos circulos (que tienen como superficie la orbita).
el de $P_1$ es $\pi a^2$ y el de $P_2$ es de $4 \pi a^2$.
se puede notar entonces que cuando el radiovector de $P_2$ recorre un area de $4 \pi a^2$, el de $P_1$ recorre $4 \sqrt 2 \pi a^2$.
con esto podemos notar que aunque orbiten el mism o objeto, dependiendo la distancia, sus radiosvectores barreran una menor o mayor area la misma unidad de tiempo.

p.d: me acabo de dar cuenta de que hubiese sido igual de sencillo hacerlo para cualquier orbita eliptica, y que hubiese sido mas general