Otras carreras Problema expansión émbolo, v(t,P,Pext y demás)

[Pinucset]

Hola,

he estado pensando en el siguiente problema que me he inventado y la verdad es que no se me ocurre como sacarlo.

La idea es que tenemos un pistón con una presión interior $P$ i una presión exterior $P_0$, en un momento dado soltamos el émbolo de superfície $s$ y masa m y al ser $P>P_0$ empieza a expandirse a una velocidad $v$ hasta que $P=P_0$.

Lo que me gustaría es encontrar la ecuación que me de $v(t)$.

He pensado en hacerlo por energías pero tampoco me ha salido nada interesante.

Lo he intentado hacer con:

$(P-P_0)s=m\frac{dv}{dt}$ pero no consigo relacionar la P con el tiempo, dado que es lo único que no es constante. He intentado poner la ecuación de los gases ideales (quien se inventa el problema marca los datos iniciales :P ) pero entonces tengo que relacionar la v con el tiempo para poder integrar suponiendo que T=ct.

Bueno, si se os ocurre algun camino por donde tirar ya sabeis, que me tiene esto encuriosido

[ser humano]

Re: Problema expansión émbolo, v(t,P,Pext y demás)

hola, yo lo que haria seria graficar primero la recta del las fuerzas resultantes en funcion del espacio recorrido. graficada esta recta, podes sacar el area del triangulo rectangulo que tiene como hipotenusa la misma y como uno de los catetos la proyeccion de la recta en las absisas. nota que este area esta debajo de la recta, y por definicion es un integral, en este caso el integral de la fuerza respecto del espacio, o lo que es lo mismo el trabajo realizado. el trabajo a su vez es la diferencia de energias, en este caso (suponiendo que no hay friccion) la energia encontrada es puramente cinetica (¿o hay que tener en cuenta la temperatuar de los gases que varia con la presion?, de ser asi no te puedo ayudar). y como la velocidad final es cero, te queda igualada la expresion del trabajo a la de la energia cinetica inicial (en negativo), con lo que podes hallar la velocidad inicial.
una vez hallada la velocidad inicial, podes plantea que $v=v_0 + a t$.(1)
ahora el problema sera reemplazar esa aceleracion por un dato que tengamos.
lo que podes hacer es un grafico de la fuerza en funcion del tiempo y te vas a dar cuenta que la ordenada al origen de la recta es la fuerza inicial, y la raiz de la misma es el tiempo final, siendo asi podes escribir la funcion de manera segmentaria de la siguiente froma:

$1=\frac{t}{t_f} + \frac{F}{F_i}$
donde t es cualquier tiempo, F es cualquier fuerza resultante, $t_f$ es el tiepmpo final y $F_i$ es la fuerza resultante inicial.
pasandolo de maenra explicita te quedaria:

$F=F_i (1-\frac t t_f)$

esto lo podes sustituir en la fromula de la segunda ley de newton:

$F_i (1-\frac t t_f)=ma$

despejando la aceleracion, ya la podes sustituir en (1) .
no se si es lo que estabas buscando. en el casode que la primera prate no se entienda, porque no escribi muchas ecuaciones, me avisas y cuando tenga un rato lo expreso mas detalladamente

[lucass]

Re: Problema expansión émbolo, v(t,P,Pext y demás)

Che, un par de cosas que no estoy de acuerdo, o no me quedan claras...

hola, yo lo que haria seria graficar primero la recta del las fuerzas resultantes en funcion del espacio recorrido

Primero, lo que haces de graficar la fuerza en funcion de x como una recta, es sólo una suposición, no? la fuerza no tiene por qué variar linealmente con la posición, o si??

...y como la velocidad final es cero, te queda igualada la expresion del trabajo a la de la energia cinetica inicial (en negativo), con lo que podes hallar la velocidad inicial.
una vez hallada la velocidad inicial, podes plantea que $v=v_0 + a t$.(1)

Yo diría que la velocidad inicial es cero, y que la velocidad final no. El piston se acelera por una resultante hacia afuera, y cuando las presiones externas e internas se igualen alcanza la máxima velocidad. Después no sé que pasaría, porque al no haber roce el pistón seguiría su movimiento pero empezaría a desacelerar... no estoy muy seguro... me suena a que el pistón haría un MAS si no hay roce, jejee
Por otro lado, si la fuerza resultante es variable no debería ser válido $v=v_0+at$, porque no sería a constante.

Está bueno pensarlo, pero tengo la impresión de que hay que especificar algo más en tu problema pinucset...
Saludos!

[ser humano]

Re: Problema expansión émbolo, v(t,P,Pext y demás)

Primero, lo que haces de graficar la fuerza en funcion de x como una recta, es sólo una suposición, no? la fuerza no tiene por qué variar linealmente con la posición, o si??

lo exprese asi porque a medida que se mueve va decreciendo la presion hasta llegar a que sean iguales en ambos lados. seria una recta de pendiente negativa.

Yo diría que la velocidad inicial es cero, y que la velocidad final no. El piston se acelera por una resultante hacia afuera, y cuando las presiones externas e internas se igualen alcanza la máxima velocidad. Después no sé que pasaría, porque al no haber roce el pistón seguiría su movimiento pero empezaría a desacelerar... no estoy muy seguro... me suena a que el pistón haría un MAS si no hay roce, jejee

tenes razon , yo habia supuesto que cuando las presiones se igualaban se quedaba quieto, pero ahora noto que no tiene por que ser asi. dudo que sea oscilatorio, porque no habria ninguna fuerza (al menos enunciada en el problema) que haga que el piston retorne a su posicion inicial.
en la semana pienso leer un poco sobre presion, despues de eso vuelvo a responder

Por otro lado, si la fuerza resultante es variable no debería ser válido $v=v_0+at$, porque no sería a constante.

estas seguro? porque fijate que la aceleracion queda en funcion de las fuerzas las cuales dependen del tiempo, lo que haria que la ecuacion en general solo depende del tiempo (y de la fuerza que se aplique en ese tiempo deteminado)

[lucass]

Re: Problema expansión émbolo, v(t,P,Pext y demás)

lo exprese asi porque a medida que se mueve va decreciendo la presion hasta llegar a que sean iguales en ambos lados. seria una recta de pendiente negativa.

... yo habia supuesto que cuando las presiones se igualaban se quedaba quieto, pero ahora noto que no tiene por que ser asi. dudo que sea oscilatorio, porque no habria ninguna fuerza (al menos enunciada en el problema) que haga que el piston retorne a su posicion inicial.

Yo sigo sin ver por qué sería una recta, y por qué no tiene alguna otra forma, decreciente sí, pero de otro modo. Aún así, yo hubiera hecho lo mismo en principio, y me parece buena idea suponer que el decrecimiento es lineal.
En principio lo del MAS lo dije porque por un segundo se me vino eso a la mente mientras pensaba el problema, pero me pareció un poco tonto. Sin ermbargo, después se me ocurrió que, si admitimos que la resultante de fuerzas varía linealmente con la posición, y además suponemos que no hay roce, entonces estamos en todas las condiciones del MAS... De hecho, cuando las presiones externas e internas se igualan, el pistón trae una velocidad (la máxima) hacia la derecha (supongamos que el gas está a la izquierda) y prosiguiría su camino (como cuando una masa en un resorte pasa por la posicion de equilibrio) lo cual haría disminuír la presión del gas por debajo de la presión externa, y esto origina una resultante de fuerzas hacia la izquierda... Así, se desaceleraría hasta frenarse y volvería a la posición de equilibrio, y todo el proceso se vuelva a repetir... No sé si me explico. Me sigue pareciendo un tanto ridículo, pero el problema está en que no hay roce, y además no logro ver el error en ese razonamiento

estas seguro? porque fijate que la aceleracion queda en funcion de las fuerzas las cuales dependen del tiempo, lo que haria que la ecuacion en general solo depende del tiempo (y de la fuerza que se aplique en ese tiempo deteminado)

Respecto de esto, es cierto que como la a depende de t, la ecuación no queda como la de un MRUV, pero por definición, esa a en $v=v_0+at$ es la aceleración media, y debería ser $v=v_0+a_mt$. Como en un MRUV (o bien, un mov producido por resultante de fuerza constante) la aceleración instantanea coincide con la aceleracion media, entonces puedo poner $a$ en vez de $a_m$, y sólo en ese caso se puede hacer.
Para comprobar esto, suponete que la aceleración es una función cualquiera del tiempo, como $a=3t^2$ y de ahí integrás para sacar la función $v$. Después por otro lado agarrá $v=v_0+at$, reemplazás la $a$ por $3t^2$ y ves que no da igual que la función obtenida por integración. De hecho, haciendo esto último sale $v=v_0+3t^3$ y entonces debe ser $a=\frac {dv}{dt}=9t^2$ que es distinto de $a=3t^2$

Saludos!

[Saplaya]

Re: Problema expansión émbolo, v(t,P,Pext y demás)

[FONT=Times New Roman]La velocidad de expansión dependera de las propiedades del gas y del tipo de expansión que se produzca (isotérmica, adiabática, etc.) y esto último depende a su vez de las características de los materiales del pistón , camisa, etc. Es decir no hay una solución única para este problema.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si consideras un gas ideal, con una expansión isotérmica y sin rozamiento entonces tendras que:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$p.V=p.S.(L+x)=n.R.T$ donde L es la longitud inicial del cilindro, luego[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$p=\frac{n.R.T}{S(L+x)}$ por tanto [/FONT]

[FONT=Times New Roman]$(p-p_{a})S=m.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$ luego[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$(\frac{n.R.T}{S(L+x)}-p_{a})S= m.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Como n es constant, T es constante (isotérmica) y la presión inial es conocida , tenemos [/FONT]

[FONT=Times New Roman]$p_{i}=\frac{n.R.T}{SL}$ luego $nRT= p_{i}SL$ y de aquí[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$(\frac{ p_{i}SL }{S(L+x)}-p_{a})S= m.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$[/FONT]


[FONT=Times New Roman]saludos[/FONT]