Otras carreras Ecuacion diferencial

[charrua]

Hola a todos:

Mi precunta es esta la ecuación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ¿es una ecaución diferencial?
La duda surgió de una conversación con un amigo , el me dacía que debía aparecer la función x(t) incógnita , para mi no es necesario pues la definición que manejos de ecuación diferencial dice que es una ecuación formada por algunaso todas las derivadas de una función incógnita que dependen de una variable.

Yo probé que si pero me gustaría saber sus opiniones les dejo mi razonamiento.

$F = m.\ddot{x}$ aplicando 2da L de Newton y operando $F = -mg \Rightarrow \ddot{x} = -g$



Vemos que tenemos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden.

Para esto basta con aplicar los métodos empleados anteriormente.


Encontremos la solucion de la ecuación homogenea reoslviendo $\lambda^2$= 0 y recordando que la solución homogénea es $x_H(x) = C_1 e^{0t} + C_2 t e^{0t} = C_1 + C_2 t$

Hallemos ahora la solución particular $x_p(t)$, para ello sabemos que esta es de la forma $c + bt + at^2$ que al derivarla se llega a que $\dot{x} = b + 2at$ y $\ddot{x} = 2a$. Si igualamos esta última expresión a -g llegamos a que a = -g.
Por lo tanto $x_P(t) = - {\frac{1}{2}}g t^2$

Emplendo el teorema que dice que toda solución general de una ecuación diferencial de segundo orden se otiene mediante la suma de la solución homogenea con una solución particular e imponiendo las condiciones iniciales del problema llegamos a que la sulución de la ecuación diferencial es:

$x(t) = x_0 + \dot{x}_0t -\frac{1}{2}gt^2$

Saludos...

[Metaleer]

Re: Ecuacion diferencial

Hola.

Bueno, han salido mal algunas cosas con el LaTeX, pero si he entendido bien, la pregunta es que si $\displaystyle - g = \frac{d^2x}{dt^2}$ es una ecuación diferencial válida. De hecho, como tú mismo has comprobado, al integrarla sale la fórmula típica de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Que la aceleración sea constante o no da igual; en general la ecuación diferencial resultante de aplicar la segunda ley de Newton será

$\displaystyle f(x, t) = m \frac{d^2x}{dt^2},$

pero si $f(x, t) = \text{constante}$ por el propio problema, es lo que hay.

Saludos.