1r ciclo Aceleración de una piedra sumergida

[Afisionado]

Es un problema del Tipler, que se supone que es sencillo de hacer pero no sé por donde cogerlo. Más o menos dice así:
Supongamos que la ecuación que da la aceleración de una piedra al sumergirse en el agua en función de la velocidad viene dada por

$a(v)=g-bv$

donde b es una constante, g la gravedad y v la velocidad de la piedra. Demostrar que si la piedra parte del reposo, la aceleración en función del tiempo viene dada por

$a(t)= ge^{-bt}$

Gracias de antemano por vuestra ayuda.

[JiraiyA]

Re: Aceleración de una piedra sumergida

Hola amigo , todo parte de la definicion matematica de la aceleracion instantanea .De esta manera :

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

igualando

$g-bv=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$


$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}v}{g-bv}$

integras a ambos lados , y deberias llegar a la respuesta del libro ,no olvides que al momento de integrar debes hacer que cuando $t=0 ; v_0=0$

[Afisionado]

Re: Aceleración de una piedra sumergida

Ok. Creo que lo tengo a partir del inicio de JiraiyA. No obstante, tengo algo oxidado el cálculo y quizá haga algo mal. A ver si es así.

Integro en la igualdad última, como dices...

$\int_0^t \mathrm{d}t=\int_0^v\frac{\mathrm{d}v}{g-bv}$

$t|_0^t=\frac{\ln (g-bv)}{-b}|_0^v$

$t=\frac{\ln (g-bv)}{-b}-\frac{\ln (g)}{-b}$

$-tb=\ln (g-bv)-\ln(g)$

$-tb=\ln \left(\frac{g-bv}{g}\right)$

$g\mathrm{e}^{-tb}=g-bv$

Como g-vb era la a inicial, queda $a(t)=g\mathrm{e}^{-tb}$

¡¡Gracias, JiraiyA!!