2o ciclo Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

[ibramoussadi]

Hola, buenas tardes.

Estoy aquí en casa intentado resolver este problema de mil maneras y lo lo consigo. Se trata de encontrar la aceleración normal y tangencial a partir de los vectores de velocidad y aceleración en un instante concreto.

Creo que se tiene que encontrar el tiempo primero, no lo sé. Aquí no puedo hacer derivadas por que no hay nada que este en función del tiempo, he intentado hacer geometría para encontrar ángulos, pero me quedo ahí sin saber que hacer más. También he intentado integrar pero creo que no vale aquí, y muchas más cosas...

Escribo aquí como la última alternativa, gracias de antemano!

El enunciado por si de acaso: En un cierto instante la velocidad de un móvil es el vector v=5i-12j y la aceleración es a=3i-2j. Encuentra at y an en ese instante.

[arreldepi]

Re: Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

Hola, buenas tardes.

Estoy aquí en casa intentado resolver este problema de mil maneras y lo lo consigo. Se trata de encontrar la aceleración normal y tangencial a partir de los vectores de velocidad y aceleración en un instante concreto.

Creo que se tiene que encontrar el tiempo primero, no lo sé. Aquí no puedo hacer derivadas por que no hay nada que este en función del tiempo, he intentado hacer geometría para encontrar ángulos, pero me quedo ahí sin saber que hacer más. También he intentado integrar pero creo que no vale aquí, y muchas más cosas...

Escribo aquí como la última alternativa, gracias de antemano!

El enunciado por si de acaso: En un cierto instante la velocidad de un móvil es el vector v=5i-12j y la aceleración es a=3i-2j. Encuentra at y an en ese instante.

Hola,

Sabes que el producto escalar se define como:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos{\alpha}$

En este caso, será:

$\vec{a}\cdot\vec{v}=av\cos\alpha$

Tienes que:

$\vec{v}=5\vec{i}-12\vec{j}$
$\vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}$

Entonces:

$\vec{v}\cdot\vec{b} = 5\cdot 3 + (-12)(2) = 39$

Por tanto,

$39=va\cos\alpha$

Calculamos los módulos de a y v:

$v = \sqrt{5^2+12^2} = 13m/s$

$a = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}m/s^2$

Encontramos cuánto vale el ángulo:

$\cos\alpha = \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{va}=\dfrac{39}{13\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$

$\alpha = arcos\dfrac{3\sqrt{13}}{13} = 33, 69^o$

Por último, calculamos las componentes de la aceleración:

$a_t = a\cos\alpha = \boxed{3m/s^2}$

$\vec{a}=\vec{a_t}+\vec{a_n}$

En módulo:

$a^2 = a_t^2+a_n^2$

$a_n =\sqrt{a^2-a_t^2} = \boxed{2m/s^2}$

Todo esto es gracias a que sabemos que la aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad, y que la aceleración normal y la tangencial forman 90º

Un saludo!

[ser humano]

Re: Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

yo plantearia lo siguiente (suponiendo que lo que te piden son los modulos):

$v=R \omega$(1)
$a_n= \omega^2 R$(2)
$a^2= a_n^2 + a_t^2$(3)

primero sacas el modulo de v y el modulo de a:
$v=\sqrt{ 5^2 + (-12)^2} =$
$a=\sqrt{ 3^2 + (-2)^2} =$

teniendo estos modulos, hallas $a_n$ en (2), despejando el valor de omega en (1) y sustituyendolo.
luego, reemplazas este valor en (3) y despejas $a_t$

pd: cuando comence a escribirlo aun no habia respeustas, de todas fromas lo dejo

[Metaleer]

Re: Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

Lo puedes hacer de forma gráfica: en un sistema de ejes cartesianos, representas ambos vectores, trazas la recta perpendicular al vector velocidad que pasa por el origen, y luego proyectas la aceleración sobre la velocidad, y sobre la recta perpendicular. El vector que resulta de proyectar la aceleración sobre la velocidad es la componente tangencial, y el que resulta de proyectar sobre la perpendicular es la normal.

La razón es la siguiente: el vector velocidad es tangente a la trayectoria en todo punto, y por tanto una recta perpendicular a este vector pasa por el centro de curvatura. Si proyectas por tanto la aceleración sobre esta recta, esa es la componente normal o centrípeta. La que resulta de proyectar sobre una dirección tangente a la curva, es decir, sobre la velocidad, es la componente tangencial. Para que veas visualmente lo que te quiero decir, mira esto .

La forma analítica de resolver el problema sería ver la proyección del vector aceleración sobre la velocidad: el producto escalar. Una vez que tengas esto, e identificas dirección y sentido de la aceleración tangencial, despejas la normal:

$\vec{a}_n = \vec{a} - \vec{a}_t.$

Saludos.

[Metaleer]

Re: Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

...

$a_n =\sqrt{a-a_t} = \boxed{2m/s^2}$

Todo esto es gracias a que sabemos que la aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad, y que la aceleración normal y la tangencial forman 90º

Un saludo!

Aquí te faltan los cuadrados, ¿no?

[arreldepi]

Re: Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

Aquí te faltan los cuadrados, ¿no?

Gracias , ya está arreglado!

[ibramoussadi]

Re: Aceleración tangencial y normal a partir de vectores v y a

Muchas gracias a todos!