Secundaria ayuda problema ecs movimiento

[gma90]

por efecto de un campo magnetico y un campo electrico, un proton se mueve con velocidad $v(t) = -Rw sen(wt) i + Rw cos(wt) j + 2bt k$ calcular:

a) la ecuacion del movimiento sabiendo que en el instante inicial el proton se encuentra en la posicion (0, R, 0)

b) la aceleracion

c) la aceleracion tangencial

no se que me pasa pero se me resiste este problema...

saludos y gracias

[Metaleer]

Re: ayuda problema ecs movimiento

Hola.

1. En primer lugar, recuerda que $\displaystyle \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} \Rightarrow \vec{v} dt = d \vec{r}$, así que integrarías componente a componente la velocidad, para $t = 0$ impones la condición que te dan para obtener la constante (vectorial) de integración.
2. Sólo tienes que derivar el vector velocidad en función del tiempo.
3. Calculas el módulo del vector velocidad y lo derivas, y para dotarlo de carácter vectorial (tangente a la trayectoria), buscas el vector unitario tangente a la trayectoria: el vector unitario que resulta de dividir el vector velocidad por su módulo.

A modo de ejemplo, te muestro cómo se resuelve el primer apartado.

$\displaystyle \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} \Rightarrow \vec{v} dt = d \vec{r} \Rightarrow \vec{r} = R \cos (\omega t) \vec{i} + R \sin (\omega t) \vec{j} + b t^2 \vec{k} + \vec{C} \Rightarrow R \vec{j} = R\vec{i}+ \vec{C} \Rightarrow \vec{C} = R \vec{j} - R\vec{i},$

y así

$\displaystyle \vec{r}(t) = R \cos (\omega t) \vec{i} + R \sin (\omega t) \vec{j} + b t^2 \vec{k} + R \vec{j} - R\vec{i},$

y si quieres ponerlo en forma paramétrica

$\displaystyle x(t) = R \cos (\omega t) - R = R(\cos (\omega t) - 1),$

$\displaystyle y(t) = R \sin (\omega t) + R = R( \sin (\omega t) +1),$

$\displaystyle z(t) = b t^2.$

Salvo error u omisión, debe salir eso.

Los demás apartados te los dejo como ejercicio.

Saludos.

PD: Cuando uno dice "ecuación de movimiento", puede referirse a dos cosas: a lo que se pide en este problema, o la propia ecuación diferencial de movimiento del sistema dinámico en consideración. Por la condición inicial dada, y porque la dificultad del problema ha sido marcada como "Secundaria", parece claro que lo que se pide es lo que yo he calculado. Pero si no fuera el caso, ten este doble significado presente, y pregunta al profesor a qué se refiere.

[gma90]

Re: ayuda problema ecs movimiento

Antes de nada gracias por responder.

en el b) me sale

$a(t) = -Rw^2 cos(wt) i -Rw^2 sen(wt) j + 2b k$

en el c)

modulo de $v(t) = \sqrt{(-Rw sen(wt))^2 + (Rw cos(wt))^2 + (2bt)^2}$

simplificando:

modulo de $v(t) = \sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}<br />$


derivada del modulo:

$dv/dt = \frac{8b^2t}{2\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}<br />$


aceleracion tangencial: vector aceleracion entre modulo

$a = \frac{-2Rw^2 cos(wt)\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}{8tb^2}i +\frac{-2Rw^2sen(wt)\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}{8tb^2}j + \frac{4b\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}{8tb^2}k$

mira a ver si el procedimiento esta bien porfavor, las cuentas me dan igual ya las revisare yo

en cuanto al a) no entiendo como has sacado la constante de integracion

la posicion inicial (0,R,0) para que se utiliza?

saludos

[Metaleer]

Re: ayuda problema ecs movimiento

Antes de nada gracias por responder.

en el b) me sale

$a(t) = -Rw^2 cos(wt) i -Rw^2 sen(wt) j + 2b k$

en el c)

modulo de $v(t) = \sqrt{(-Rw sen(wt))^2 + (Rw cos(wt))^2 + (2bt)^2}$

simplificando:

modulo de $v(t) = \sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}<br />$


derivada del modulo:

$dv/dt = \frac{8b^2t}{2\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}<br />$


aceleracion tangencial: vector aceleracion entre modulo

$a = \frac{-2Rw^2 cos(wt)\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}{8tb^2}i +\frac{-2Rw^2sen(wt)\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}{8tb^2}j + \frac{4b\sqrt{R^2w^2+4b^2t^2}}{8tb^2}k$

mira a ver si el procedimiento esta bien porfavor, las cuentas me dan igual ya las revisare yo

en cuanto al a) no entiendo como has sacado la constante de integracion

la posicion inicial (0,R,0) para que se utiliza?

saludos

El apartado b) parece que está bien resuelto.

En el tercer apartado (c) no entiendo bien qué has hecho. Hasta el cálculo de la derivada del módulo de la velocidad, bien, pero después no entiendo. El objetivo era coger la derivada del módulo de la velocidad y multiplicarlo por el vector unitario de velocidad (el vector velocidad entre su propio módulo). Eso sería la aceleración tangencial.

En lo de la constante de integración, tienes que recordar que te dicen que en $t = 0$, el vector de posición de la partícula era $\vec{r} = 0 \vec{i} + R \vec{j} + 0 \vec{k} = R \vec{j}$, e igualando esto a la velocidad integrada y luego evaluada en $t = 0<br />$, despejas la constante vectorial.

Por tanto la posición inicial $(0, R, 0)$ es para saber el vector de posición en el instante inicial.

Saludos.