1r ciclo Sobre planos inclinados

[[Beto]]

Hola, he estado resolviendo unos ejercicios y hay algunas cosas que no convencen respecto a la solución que he planteado, los ejercicios son los siguientes:

1. Se trata de un plano inclinado que se mueve con una aceleración constante $a$, y sobre el hay un bloque el cual por condición del problema no tiene que deslizar sobre el plano, considerando un coeficiente de rozamiento $\mu$.Piden encontrar (a) la aceleración máxima para que no deslice (b) la aceleración mínima para que la masita no deslice. Además indican que asuma que $\tan \theta<\mu$ La figura es la siguiente:

2. El segundo ejercicio es similar, solamente que en este caso se trata de un auto girando en circulos con una determinada inclinacion, respecto a un eje, así como se muestra en la figura, tambien me piden determinar la rapidez máxima y mínima para que pueda girar sin deslizar por el plano (pero en esta parte no indican que se asuma que $\tan \theta<\mu$).

La solución que planteo para ambos ejercicios es similar, ya que realizo el diagrama de cuerpo libre en el sistema de referencia de la masita ara ambos casos, es por ello que en el diagrama de cuerpo libre incluyo una seudofuerza opuesta a la aceleración en cada caso. De ese modo en ese sistema de referencia el cuerpo estará en equilibrio y planteo las siguientes ecuaciones:

En el eje Y:

$$mg\cos\theta+ma\sin\theta=N$$

En el eje X: En esta parte lo hago por casos, ya que la fuerza de rozamiento puede ir en uno u otro sentido ... aunque supongo que también es lo podría hacer todo en un unico caso. Lo que hago es imponer una condición de no deslizamiento, es decir que la fuerza de rozamiento estático máxima no sea superada por las componentes de las fuerzas en esa dirección, los dos casos son los siguientes:

Caso 1: (La fuerza de rozamiento hacia la izquierda)

$$mg\sin\theta-ma\cos\theta\leq \mu N$$

luego reemplazando esto en (1) se obtiene que:

$$\frac{g(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{\mu\sin\theta+\cos\theta}\leq a$$

Caso 2: (La fuerza de rozamiento hacia la derecha)

$$ma\cos\theta-mg\sin\theta\leq \mu N$$

luego reemplazando esto en (1) se obtiene que:

$$a\leq\frac{g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{\cos\theta-\mu\sin\theta}$$

Y bueno asi terminaría y encontraría la aceleración máxima y mínima, y para las velocidades en el segundo ejercicio solo bastaría considerar que $a=\dfrac{v^2}{R}$.

Pero, tengo varias cosas que no convencen del todo respecto a mi respuesta, y son las siguentes:

El valor de $a$ como es la magnitud de la aceleración, entonces tendría que tener un valor positivo, entonces se tienen que imponer ciertas condiciones en las respuestas para que estas sean válidas, por ejemplo en (3.1) tendía que suceder que

$$0\leq\sin\theta-\mu\cos\theta\Longrightarrow\mu\leq\tan\theta$$

Del mismo modo en la ecuación (3.2), tendria que decir que solo vale para cuando

$$0<\cos\theta-\mu\sin\theta\Longrightarrow\mu<\cot\theta$$

por lo general para el coeficiente de rozamiento se tiene que este es igual a la tangente de cierto ángulo de inclinación del plano a partir del cual empezará a deslizar (cuando el plano esta estático), si ese ángulo es $\alpha$, entonces $\tan\alpha=\mu$, por tanto esas expresiones solamente valdrían en determinadas condiciones, ya que si $\tan\alpha<\cot\theta$ solo ocurre cuando cuando $\theta<\pi/2-\alpha$ (si es que no me equivoco) ... pero ¿que ocurriría de cumplirse esta condición?

las dudas o curiosidades que observo en cada ejercicio son las siguientes

Ejercicio 1:

Como me dicen que asuma que $\tan\theta<\mu$, entonces considerando la ecuación (4.1), tendría que $\mu=\tan\theta$, luego ello tendría que reemplazarlo en (3.1) y (3.2) y obtendría que:

$$0<a<\frac{2g\mu}{1-\mu^2}$$

¿Es correcto esto?

Ejercicio 2:

En esta parte no hay la restricción anterior lo que se me hace curioso mencionar es que cuando $\mu=1$ y $\theta=\pi/4$, entonces todas las velocidades son posibles, claro siempre y cuando se cumpla con la condición que se desprende de (4.2), de no cumplirse esa condición ¿como se comporta el sistema?

Son preguntas algo inocentes quizás pero ... hoy no estoy inspirado y no se me ocurre nada ... el problema radica en que no estoy seguro de trabajar los casos y juntarlos como he hecho o por separado.

[ser humano]

Re: Sobre planos inclinados

Como me dicen que asuma que $\tan\theta<\mu$, entonces considerando la ecuación (4.1), tendría que $\mu=\tan\theta$,

creo que no podes asumir esto, porque en el enunciado te piden que $\mu$ se estrictamente mayor a $\tan \theta$, lo que es contradictorio con la conclusion que llegas en (4.1)

Y bueno asi terminaría y encontraría la aceleración máxima y mínima, y para las velocidades en el segundo ejercicio solo bastaría considerar que a=\frac {v^2} R

esta es solo la aceleracion centripeta, la aceleracion total es la suma de esta mas la aceleraicon que tenga el auto (que de ser igual al primer ejercicio, como mencionaste, tiene una aceleracion que en este caso seria tangencial constante)

mas tarde edito si puedo revisar con mas tiempo el problema, ahora ya me tengo que ir

[[Beto]]

Re: Sobre planos inclinados

creo que no podes asumir esto, porque en el enunciado te piden que $\mu$ se estrictamente mayor a $\tan \theta$, lo que es contradictorio con la conclusion que llegas en (4.1)

No estoy asumiento eso lo asume el ejercicio, pero si veo el error que cometi ... de ser asi quizas en el enunciado del ejercicio no deba estar un mayor estrictamemte si no un mayor o igual ¿cierto? .. ya que la lo que propongo en 4.1 me parece correcto y de ese modo no habria contradicción.

esta es solo la aceleracion centripeta, la aceleracion total es la suma de esta mas la aceleraicon que tenga el auto (que de ser igual al primer ejercicio, como mencionaste, tiene una aceleracion que en este caso seria tangencial constante)

mas tarde edito si puedo revisar con mas tiempo el problema, ahora ya me tengo que ir

Son ejercicios diferentes, solo que su solución es idéntica .. por ello estan en el mismo hilo, no hay aceleración tangencial en ese movimiento ciercunferencial que describe el auto.

[ser humano]

Re: Sobre planos inclinados

No estoy asumiento eso lo asume el ejercicio, pero si veo el error que cometi ... de ser asi quizas en el enunciado del ejercicio no deba estar un mayor estrictamemte si no un mayor o igual ¿cierto? .. ya que la lo que propongo en 4.1 me parece correcto y de ese modo no habria contradicción.

si, de ser mayor o igual, yo creo que esta bien como lo planteaste . la unica condicion que quedaria para que la aceleracion sea positiva es que el coeficiente de roce sea menor que 1

Son ejercicios diferentes, solo que su solución es idéntica .. por ello estan en el mismo hilo, no hay aceleración tangencial en ese movimiento ciercunferencial que describe el auto.

entonces el auto va a una velocidad constante no? porque en el enunciado no especifica nada. creo que si no especifica se deberia resolver teniendo en cuenta la posibilidad de que la tenga (y de no tenerla de todas formas valeria la expresion ya que en todo caso se reemplaza por 0)

En esta parte no hay la restricción anterior lo que se me hace curioso mencionar es que cuando y , entonces todas las velocidades son posibles, claro siempre y cuando se cumpla con la condición que se desprende de (4.2), de no cumplirse esa condición ¿como se comporta el sistema?

lo unico que varia es el sentido en el cual estas indicando que acelera. me parece que es porque estas trabajandolos con las componentes del vector. es decir, mas alla de que esta componente coincida con la magnitud total de la aceleracion, esta si tiene la libertad de ser negativa.
(3.1) te dartia positivo mientras que (3.2) te daria negativo utilizando los mismos datos, ambos con la misma magnitud (esto te indica que con una sola ecuacion seria suficiente para describir la aceleracion, con una posterior interpretacion del resultado)

[[Beto]]

Re: Sobre planos inclinados

si, de ser mayor o igual, yo creo que esta bien como lo planteaste . la unica condicion que quedaria para que la aceleracion sea positiva es que el coeficiente de roce sea menor que 1

Si, en ese caso me parece que podria estar bien así como lo he planteado.

entonces el auto va a una velocidad constante no? porque en el enunciado no especifica nada. creo que si no especifica se deberia resolver teniendo en cuenta la posibilidad de que la tenga (y de no tenerla de todas formas valeria la expresion ya que en todo caso se reemplaza por 0)

El auto va a rapidez constante, me falto especificar que en el enunciado este gira con velocidad angular constante en torno al eje indicado.

lo unico que varia es el sentido en el cual estas indicando que acelera. me parece que es porque estas trabajandolos con las componentes del vector. es decir, mas alla de que esta componente coincida con la magnitud total de la aceleracion, esta si tiene la libertad de ser negativa.
(3.1) te dartia positivo mientras que (3.2) te daria negativo utilizando los mismos datos, ambos con la misma magnitud (esto te indica que con una sola ecuacion seria suficiente para describir la aceleracion, con una posterior interpretacion del resultado)

En esta parte discreto, pues la aceleración se da en la dirección indicada, es decir si se tiene que imponer que su magnitud sea positiva (no la tomo de dorma arbitraria), segun me parece tanto (3.1) como (3.2) tienen que ser expresiones positivas, y como se observa que son expresiones diferentes y no una la negativa de la otra, es por ello que no encontre forma de hacerlo tal que no trate al ejercicio por casos.

Quizás a alguien se le ocurra alguna forma mejor de resolver estos ejercicios, porque no estoy del todo seguro si esten bien asi como lo he hecho

[ser humano]

Re: Sobre planos inclinados

En esta parte discreto, pues la aceleración se da en la dirección indicada, es decir si se tiene que imponer que su magnitud sea positiva (no la tomo de dorma arbitraria), segun me parece tanto (3.1) como (3.2) tienen que ser expresiones positivas, y como se observa que son expresiones diferentes y no una la negativa de la otra, es por ello que no encontre forma de hacerlo tal que no trate al ejercicio por casos.

me parece que el tema esta en que en (2.2) tuviste que haber puesto en cambio de $\mu N$, $-\mu N$. ya que es contraria a la aceleracion, porque si lo djeas asi esta conforme a ella.
fijate que por como planteaste las leyes de newton, deberias agregar el versor de las absisas a la ecuacion de la aceleracion, cosa que por lo general no se hace solo por comodidad (pero luego si se debe hallar el vector aceleracion, si se utilizan estos resultados como las componentes, el hecho de que en este caso en particular no haya aceleracion en el eje de las cordenadas no cambia las cosas).

sino podes probar hacerlo asi: http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=8377

[[Beto]]

Re: Sobre planos inclinados

Lo que sucede que al tomar como sistema de referencia la masa o el auto estos sistemas estan en equilibrio, pues intrduzco una fuerza no inercial ... de ese modo no es necesario tomar direccion positiva para la aceleración, solamente basta con igualar fuerzas que van hacia un lado con las que van en dirección contraria.

[ser humano]

Re: Sobre planos inclinados

lamento no compernder tu metodologia (nunca implemente "fuerzas no inerciales")

yo la resolucion la haria primero planteando la aceleracion que puede producir la fuerza de roce, ya esta es la unica que se aplica sobre el bloque y por lo tanto la unica que va a poder hacer que este no se deslice con respecto al plano (o al auto). una vez calculada esta aceleracion, en el primero habria que ver cuanto es la aceleracion producida por el peso, a la que se le adiciono o se le resta la aceleracion del plano inclinado (segun cual es el sentido en el que acelera).
lo unico que hay que decir es que la aceleracion que tenga el plano mas la aeleracion imprimida por el peso no puede superar a la que puede generar la fuerza de roce, para que no se deslice. habria que ver si en el resultado que te da ya se cumple la condicion que requiere el enunciado, de no ser asi habria que imponerla unicamente.

en el caso del segundo la aceleracion, como bien dijiste, solo es la centripeta, y habria que escribir que esta no puede superar a la que puede generar la fuerza de roce.

voy a leer sobre fuerzas no inerciales, a ver si puedo entender tu deduccion.

saludos

[[Beto]]

Re: Sobre planos inclinados

lamento no compernder tu metodologia (nunca implemente "fuerzas no inerciales")

A lo que me refiero es a que si uno se ubica en el sistema de referencia de la masa en movimiento, en ese sistema de referencia se estará en equilibrio, pero a cambio d eso hará falta introducir una fuerza de magnitud $ma$, opuesta a la direccion de la aceleración observada desde un sistema de referencia inercial.

[ser humano]

Re: Sobre planos inclinados

A lo que me refiero es a que si uno se ubica en el sistema de referencia de la masa en movimiento, en ese sistema de referencia se estará en equilibrio, pero a cambio d eso hará falta introducir una fuerza de magnitud $ma$, opuesta a la direccion de la aceleración observada desde un sistema de referencia inercial.

comprendo, y me parece que no es necesario verlo de este punto de vista notando que se complican las cosas. creo que como lo plantee en el mensaje anterior sale facil y creo que va a ser mas sencillo interpretar los resultados que de.

pd: gracias por explicarme que es una fuerza no inercial

[[Beto]]

Re: Sobre planos inclinados

comprendo, y me parece que no es necesario verlo de este punto de vista notando que se complican las cosas. creo que como lo plantee en el mensaje anterior sale facil y creo que va a ser mas sencillo interpretar los resultados que de.

En realidad ambas formas son equivalentes, no hay una que sea mas dificil o más facil ... yo lo hice asi porque en cierta manera asi no me preocupo de los signos y trabajo en condiciones estáticas.

En todo caso tu o alguien más resulve el problema de alguna otra forma me gustaria verla para comparar.

[ser humano]

Re: Sobre planos inclinados

estuve intentando hacerlo como te lo plantee en el mensaje, pero la verdad es que se acompleja aun mas, porque la aceleracion me queda en funcion de la normal, y la normal me queda en funcion de la componente de las absisas de la primera aceleracion.
viendo la resolcion que hiciste, me parece que esta bien, al menos yo no le encuntro ningun error pero tampoco estoy en condiciones de responder que pasa si no cumplen con las condicines que se plantean .

bueno, lamento no poder haberte ayudado, estare atento para ver si alguien te saca tus dudas, que ahora tambien son mis dudas.

saludos