1r ciclo Periodo de un péndulo

[Juanma1976]

Hola a todos. A ver si alguien me puede echar una mano.
De sobras es conocida que la ecuacion diferencial que define la función ángulo del péndulo respecto a la vertical es la siguiente:

$\varphi '' = -\frac{g}{l}\sin\varphi$

Para ángulos pequeños se puede aproximar por $\varphi '' = -\frac{g}{l}\varphi$

Y a partir de esta ecuación más sencilla se puede determinar el periodo (resolviendo o no la ecuación diferencial).

¿Existe algún método que consiga determinar el periodo utilizando la primera ecuación? (supongo que el periodo se calcularía como una expresión en serie de potencias).

Un saludo.

[Sartie]

Re: Periodo de un péndulo

quizas puedas hacerlo desarrollando el seno en series de fourier

[Stormkalt]

Re: Periodo de un péndulo

Hola Juanma1976:

Se podría aplicar la serie de Taylor a la función seno. Pero terminaría siendo la misma cosa, pues deberías siempre poner la condición de que para ángulos pequeños la serie se cortaría en el primer término.
Porque en el segundo te quedaría:
$<br /> -\frac{ \varphi ^3}{3!}<br />$
que tiende a cero cuando $\varphi$ tiende a cero.

¡Saludos!

[Metaleer]

Re: Periodo de un péndulo

Puedes obtener el periodo por consideraciones energéticas.

Si $\theta_0$ es el ángulo inicial que forma el péndulo con la vertical, y $\ell$ la longitud, se puede demostrar que el periodo es

$\displaystyle \tau = 2 \sqrt{\frac{\ell}{g}}\int_0^{\theta_0}[\sin ^2(\theta_0/2) - \sin ^2(\theta/2)]^{-1/2} d \theta.$

Esta integral no se puede evaluar en términos de funciones elementales: es una integral elíptica de primera especie. Lo que puedes hacer es desarrollar en serie de Taylor, o recurrir a técnicas numéricas.

Haciendo $\displaystyle k = \sin (\theta_0/2)$, y desarrollando en serie, tienes que

$\displaystyle \tau = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \left [ 1 + \frac{k^2}{4} + \frac{9 k^4}{64} + \ldots \right ],$

y aquí puedes ver que si $k$ es pequeño, es decir, si $\sin (\theta_0/2) \approx \theta_0/2$, entonces recuperas el periodo del péndulo en la aproximación de oscilaciones pequeñas de toda la vida.

En el Marion y Thorton tienes la deducción de la integral, pero si te interesa verlo aquí, dímelo y te comento.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: Periodo de un péndulo

Es verdad, estaba en el Marion.
Gracias por las indicaciones!

Puedes obtener el periodo por consideraciones energéticas.

Si $\theta_0$ es el ángulo inicial que forma el péndulo con la vertical, y $\ell$ la longitud, se puede demostrar que el periodo es

$\displaystyle \tau = 2 \sqrt{\frac{\ell}{g}}\int_0^{\theta_0}[\sin ^2(\theta_0/2) - \sin ^2(\theta/2)]^{-1/2} d \theta.$

Esta integral no se puede evaluar en términos de funciones elementales: es una integral elíptica de primera especie. Lo que puedes hacer es desarrollar en serie de Taylor, o recurrir a técnicas numéricas.

Haciendo $\displaystyle k = \sin (\theta_0/2)$, y desarrollando en serie, tienes que

$\displaystyle \tau = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \left [ 1 + \frac{k^2}{4} + \frac{9 k^4}{64} + \ldots \right ],$

y aquí puedes ver que si $k$ es pequeño, es decir, si $\sin (\theta_0/2) \approx \theta_0/2$, entonces recuperas el periodo del péndulo en la aproximación de oscilaciones pequeñas de toda la vida.

En el Marion y Thorton tienes la deducción de la integral, pero si te interesa verlo aquí, dímelo y te comento.

Saludos.