1r ciclo Error Problema dinámica?

[neometalero]

Como os dije, aqui va un problema y la solución en parte, creo que tiene un error sinceramente. Ya me decís vuestra opinión, dice así:
Una partícula de masa m se mueve sin rozamiento, por la acción de la gravedad, sobre una esfera de radio R apoyada en un plano horizontal. Suponiendo que la partícula parte del reposo desde un punto B muy próximo al punto más alto de la esfera, se pide determinar:
a)La posición en que la partícula abandona la esfera y la velocidad en ese instante.

El problema propone como planteamiento dinámico la siguiente ecuación:
$Pcos(\alpha)-N=m\frac{v^2}{R}$
Afirma acertadamente, que en el momento en que la masa se desprende de la esfera , la normal es nula, de donde obtiene la velocidad en dicho punto que vale:
$v=\sqrt{gRcos(\alpha')}$
Para hallar el valor de dicho ángulo, hace uso del principio de conservación de la energía mecánica y es aquí donde existe un error. El problema afirma que la energía potencial en el punto de partida B: mgh, es igual a la energía cinética en el punto en que se desprende, de forma que:
$mgh=\frac{1}{2}mv^2$
Teniendo en cuenta que $h=R(1-cos(\alpha))$
introduce eso y obtiene mediante cálculos que $cos(\alpha)=\frac{2}{3}$, lo que le permite obtener la velocidad en ese punto.
Mi pregunta es, cuando hace uso del principio de conservación de la energía mecánica, porque no escribe la energía potencial en el punto en que se desprende? Debería existir ese factor $mgh'$ donde $h'=R((1-cos(\alpha'))$, lo que trastoca bastante el problema y hace más difícil su solución.
Qué opinais?

[[Beto]]

Re: Error Problema dinámica?

Me parece que si no consideran energía potencial en el punto en donde se desprende debe de ser porque estarán tomando a ese punto como el nivel de referencia.

[neometalero]

Re: Error Problema dinámica?

Debe de ser eso porque si no, no le veo otra explicación.

[Ulises7]

Re: Error Problema dinámica?

Como os dije, aqui va un problema y la solución en parte, creo que tiene un error sinceramente. Ya me decís vuestra opinión, dice así:
Una partícula de masa m se mueve sin rozamiento, por la acción de la gravedad, sobre una esfera de radio R apoyada en un plano horizontal. Suponiendo que la partícula parte del reposo desde un punto B muy próximo al punto más alto de la esfera, se pide determinar:
a)La posición en que la partícula abandona la esfera y la velocidad en ese instante.

El problema propone como planteamiento dinámico la siguiente ecuación:
$Pcos(\alpha)-N=m\frac{v^2}{R}$
Afirma acertadamente, que en el momento en que la masa se desprende de la esfera , la normal es nula, de donde obtiene la velocidad en dicho punto que vale:
$v=\sqrt{gRcos(\alpha')}$
Para hallar el valor de dicho ángulo, hace uso del principio de conservación de la energía mecánica y es aquí donde existe un error. El problema afirma que la energía potencial en el punto de partida B: mgh, es igual a la energía cinética en el punto en que se desprende, de forma que:
$mgh=\frac{1}{2}mv^2$
Teniendo en cuenta que $h=R(1-cos(\alpha))$
introduce eso y obtiene mediante cálculos que $cos(\alpha)=\frac{2}{3}$, lo que le permite obtener la velocidad en ese punto.
Mi pregunta es, cuando hace uso del principio de conservación de la energía mecánica, porque no escribe la energía potencial en el punto en que se desprende? Debería existir ese factor $mgh'$ donde $h'=R((1-cos(\alpha'))$, lo que trastoca bastante el problema y hace más difícil su solución.
Qué opinais?

Buenas neometalero, quisiera comprender de dónde sale la primera ecuación, ya que no lo acabo de entender, se iguala la fuerza centrípeta con lo demás pero no logró ver de donde viene .

edito: he realizado el dibujo con las fuerzas y demás pero obtengo:

$\displaystyle m\frac{v^2}{R} = N - P\cos\alpha$

considerando que: $F_c = m\dfrac{v^2}{R}$ ya que siempre la he utilizado asi, pero acabo de ver en un libro de 'chuletas' de física que la fuerza centrípeta en física es $F_c = -m\dfrac{v^2}{R}$ entonces si que daria la ecuación del comienzo pero no sé de donde sale el signo menos .




Gracias y saludos

[jam]

Re: Error Problema dinámica?

Hola, voy a poner una solución un poco más enrevesada, pero que evita las susceptibilidades que comentáis. Disculpad la simbología, pero no domino el Latex.

La fuerza normal es N=PN-FC donde PN es la componente normal del peso P, y Fc es la fuerza "centrífuga".
P=mg
FC=mR[FONT=Symbol]w[/FONT]2
PN=mgCos([FONT=Symbol]phi[/FONT])
PT=mgSen[FONT=Symbol](phi)[/FONT]=FT=maT (1)
N=mgCos[FONT=Symbol](phi)[/FONT]-mR[FONT=Symbol]w[/FONT]2

Cuando la partícula despega N=0, entonces

mgCos(phi)= mR[FONT=Symbol]w[/FONT]2 ;

gCos[FONT=Symbol](phi)[/FONT]= R[FONT=Symbol]w[/FONT]2 (2)

de (1) que representa la aceleración tangencial tenemos:

aT=gSen[FONT=Symbol](phi)[/FONT]

[FONT=Symbol]Entonces [/FONT] dv/dt=d(R[FONT=Symbol]w[/FONT])/dt=gSen[FONT=Symbol](phi)[/FONT] [FONT=Symbol];[/FONT] Rd[FONT=Symbol]w[/FONT]/dt=gSen[FONT=Symbol](phi)[/FONT]

multiplicando y dividiendo por d([FONT=Symbol]phi[/FONT])


Rd[FONT=Symbol]w[/FONT]/d[FONT=Symbol](\alpha)[/FONT] · d[FONT=Symbol](phi)[/FONT]/dt = R[FONT=Symbol]w[/FONT] · d[FONT=Symbol]w[/FONT]/d[FONT=Symbol](phi)[/FONT]=gSen[FONT=Symbol](phi)[/FONT]; R[FONT=Symbol]w[/FONT] d[FONT=Symbol]w =[/FONT]gSen[FONT=Symbol](phi)[/FONT]d[FONT=Symbol](phi)[/FONT];

Integrando entre 0 y W y entre 0 y ([FONT=Symbol]phi[/FONT]) obtenemos:

R [FONT=Symbol]w[/FONT]2/2 = g(1-Cos([FONT=Symbol]phi[/FONT]))

De la condición de despegue (2)

(1/2)gCos([FONT=Symbol]phi[/FONT]) = g (1-Cos[FONT=Symbol](phi)[/FONT]) ; 1/2Cos([FONT=Symbol]phi[/FONT])=1-Cos([FONT=Symbol]phi[/FONT]) ; 3/2 Cos([FONT=Symbol]phi[/FONT]) = 1

Por lo tanto Cos([FONT=Symbol]phi[/FONT]) = 2/3 es la solución buscada.

Saludos

[neometalero]

Re: Error Problema dinámica?

La Fuerza centrípeta se define tal y como conocemos, el signo menos suele referirse a la fuerza centrífuga, que es una fuerza "ficticia" en el sentido de que no es producto de una interacción . Se ha de tener en cuenta en sistemas de referencia no inerciales, y nunca se puede considerar ambas, centripeta y centrifuga, a la vez.
La otra solucion es mas enrevesada sin duda, en el caso de la que he propuesto yo (que no es mia), creo que es mas sencilla y muy clara solo que Ulises tiene un leve problema en el planteamiento inicial.
Respecto a eso, revisa tu dibujo, quizas te hayas equivocado al hacerlo, al considerar algun angulo o al dibujar una fuerza.

[polonio]

Re: Error Problema dinámica?

¡Otra vez el lío!

A ver: la fuerza (mal llamada) centrífuga es una fuerza inercial (es parte de la fuerza de arrastre) y, en este caso, sólo aparece si describimos el movimiento desde la partícula, que está acelerada. Como estamos describiendo el movimiento desde un sistema inercial (al cual está ligada la esfera), no hay tal fuerza.

El término centrípeto no tiene "nada" que ver con el término centrífugo: centrífugo no es centrípeto hacia fuera, ni mucho menos. Centrípeto significa en dirección (da igual el sentido) que une el punto con el centro de curvatura: en dirección normal, como llamamos mucho menos confusamente refiriéndonos al triedro intrínseco. Otra cosa es que resulta que la "aceleración centrífuga" va en esta dirección y en sentido opuesto al centro curvatura ("hacia fuera").

Para que no hayan confusiones en la denominación de direcciones, es muy recomentable usar el triedro intrínseco para estudiar el movimiento si conocemos la trayectoria del punto (como en este caso, que sabemos que es una circunferencia sobre una esfera).

Y, para que no hayan confusiones con los términos inerciales, mejor usar sólo los términos: absoluta, relativa, de Coriolis y de arrastre.


¡Vaya parrafada!

Resumiendo:

-Centrífugo: hace referencia a parte de un término no inercial (debido a describir el movimiento desde un sistema no inercial).

-Centrípeto: hace referencia a la dirección normal (en el triedro intrínseco).

[neometalero]

Re: Error Problema dinámica?

No te ofendas Polonio pero no hay ningun lio, que el termino centrifugo hace referencia a sistemas no inerciales y que no debe confundirse y nunca pueden estar ambos juntos ya lo he dicho yo jeje. No he explicado el porque se le llama centripeta a la otra porque se supone que ya se conoce.
Saluditos

[polonio]

Re: Error Problema dinámica?

No me ofendo (en absoluto).

Lo único es que (aunque veo que tú no te confundes, es más: lo explicas muy bien en este hilo) sí se genera confusión por el uso de estos términos y veo que la hay en el hilo. Así que sólo he querido puntualizar para que no haya confusión. Tu único problema era el origen de potencial y te lo aclara Beto.

Algunos resuelven el problema tomando fuerzas inerciales sin ni siquiera indicar que se está haciendo el cálculo desde un sistema no inercial (el ligado a la partícula) y, por tanto, la segunda ley de Newton aquí no es aplicable y se tiene que recurrir a las fuerzas de inercia... ¡Eso es lo que es incorrecto! (por mucho que el resultado numérico coincida... de casualidad).

Ahora va la anécdota del abuelo: yo tuve un profesor de Mecánica en segundo (allá por 1988-1989) que decía algo así como: "La bibligrafía y el uso de las fuerzas ficticias era tan confusos como ficticio es el conocimiento de Física que tenáin los autores".

[neometalero]

Re: Error Problema dinámica?

jejeej mola ese abuelo polonio jejejeje

[jam]

Re: Error Problema dinámica?

Algunos resuelven el problema tomando fuerzas inerciales sin ni siquiera indicar que se está haciendo el cálculo desde un sistema no inercial (el ligado a la partícula) y, por tanto, la segunda ley de Newton aquí no es aplicable y se tiene que recurrir a las fuerzas de inercia... ¡Eso es lo que es incorrecto! (por mucho que el resultado numérico coincida... de casualidad).

Gracias, llevas razón polonio. ¿Pero sale el resultado de casualidad como dices? Lo pregunto por si, sería posible corregir el planteamiento sin acudir a la utilización de las ecuaciones de conservación de la energía, y que el resultado no fuera de casualidad.

Y por supuesto, el espíritu de esta web no es criticar los errores de forma... un tanto ácida, sino ayudar. Pero gracias de todas formas.

[pod]

Re: Error Problema dinámica?

Gracias, llevas razón polonio. ¿Pero sale el resultado de casualidad como dices? Lo pregunto por si, sería posible corregir el planteamiento sin acudir a la utilización de las ecuaciones de conservación de la energía, y que el resultado no fuera de casualidad.

Por supuesto, se puede hacer por fuerzas. Es decir, escribir la otra ecuación de la fuerza (la que lleva el seno del peso) e integrarla. Es más difícil, la energía ya te da una primera integral hecha (por eso la energía se define como una integral de linea). No es casualidad, hay teoremas que aseguran que los dos métodos darán siempre lo mismo (si se usan bien).


Para hacer este problema bien y fácil, hay dos elecciones lógicas. Poner h = 0 en el ecuador, con lo que la ecuación de conservación queda de la forma

$$<br /> m g R = \frac12 m v^2 + m g (R \cos\theta) \ .$$

Fíjense que a medida que el ángulo aumenta, el término entre paréntesis disminuye, que es lo que tiene que pasar cuando algo baja.

La otra forma es poner h = 0 en la cima, entonces,

$$0 = \frac12 m v^2 + m g R (\cos\theta-1) \ .$$

Que como podéis ver es exactamente la misma ecuación anterior, habiendo pasado la constante m g R al otro lado. Para ángulos mayores que cero, la altura (entre paréntesis) se hace negativa, que es lo que toca.

[jam]

Re: Error Problema dinámica?

Ya, si esa es la forma a la que nos lanzamos todos corriendo, que es como bien dices la fácil y la lógica.
Yo cuando vi la pregunta recordé que ese problema nos lo pusieron en C.O.U., y nos enseñaron ambas posibilidades. Yo intenté el "camino de la fuerza" quizá un tanto desacertadamente, intentando aportar algo a la duda planteada.
Y bien me ha servido para corregir mi comprensión.

Gracias

[Ulises7]

Re: Error Problema dinámica?

¡Otra vez el lío!

A ver: la fuerza (mal llamada) centrífuga es una fuerza inercial (es parte de la fuerza de arrastre) y, en este caso, sólo aparece si describimos el movimiento desde la partícula, que está acelerada. Como estamos describiendo el movimiento desde un sistema inercial (al cual está ligada la esfera), no hay tal fuerza.

El término centrípeto no tiene "nada" que ver con el término centrífugo: centrífugo no es centrípeto hacia fuera, ni mucho menos. Centrípeto significa en dirección (da igual el sentido) que une el punto con el centro de curvatura: en dirección normal, como llamamos mucho menos confusamente refiriéndonos al triedro intrínseco. Otra cosa es que resulta que la "aceleración centrífuga" va en esta dirección y en sentido opuesto al centro curvatura ("hacia fuera").

Para que no hayan confusiones en la denominación de direcciones, es muy recomentable usar el triedro intrínseco para estudiar el movimiento si conocemos la trayectoria del punto (como en este caso, que sabemos que es una circunferencia sobre una esfera).

Y, para que no hayan confusiones con los términos inerciales, mejor usar sólo los términos: absoluta, relativa, de Coriolis y de arrastre.


¡Vaya parrafada!

Resumiendo:

-Centrífugo: hace referencia a parte de un término no inercial (debido a describir el movimiento desde un sistema no inercial).

-Centrípeto: hace referencia a la dirección normal (en el triedro intrínseco).

Gracias Polonio pero creo tener bastante claro que la fuerza centrípeta es una fuerza dirigida hacia el centro y la centrífuga ( que es ficticia ), va hacia afuera, gracias igualmente, ahora mismo me acabo de dar cuenta de mi tonto error ( fruto de ser un novato en mecánica ) no había tenido en cuenta que el criterio en este caso es positivo si va hacia el centro de la esfera , en fin...




Saludos