1r ciclo Un cono curioso

[neometalero]

El coeficiente de rozamiento de cierta arena consigo misma viene dado por ${\mu}=\frac{4{\pi}}{50}$ y su densidad es de 2.4g/cm^3. Calcula la altura máxima que puede tener un cono formado por 1000 toneladas de dicha altura.

La verdad es que no tengo muy claro por donde cogerlo. Lo he hecho varias veces, a veces me da una cosa mucho mayor de lo que toca y otras ni lo resuelvo porque tengo demasiadas incógnitas. Alguna sugerencia?

[Fastolfe]

Re: Un cono curioso

a veces me da una cosa mucho mayor de lo que toca

Es evidente a través de esta frase que puedo suponer que conoces el resultado al problema, si fueras tan amable deberías colocarlo.

Yo por mi parte te expongo mi idea:

1) colocar en un plano inclinado un elemento $dm$ de arena, hacer diagrama de cuerpo libre para $\sum{\vec{F}}=0$ y obtener una relacion entre el angulo y el coeficiente de rozamiento $\mu$

2) se conoce la masa de arena, el angulo del plano inclinado y el volumen de un cono. En este punto encontraria una relacion entre el radio de la base, la altura y el angulo, para luego despejar en $m=\rho\cdot V$

Si colocas el resultado, yo expongo el desarrollo.

[neometalero]

Re: Un cono curioso

Voy a probar como dices porque obviamente una de las veces que me faltaba una variable era el radio, el resultado es 2.93m.
Gracias!!

[neometalero]

Re: Un cono curioso

Gracias de nuevo, problema solucionado!!!

[Fastolfe]

Re: Un cono curioso

Podrías haber colocado la solución para que otros también se beneficien. Pero como no ha sucedido, lo colocare yo.

1) colocar en un plano inclinado un elemento de arena, hacer diagrama de cuerpo libre para y obtener una relacion entre el angulo y el coeficiente de rozamiento .

Esto nos genera:

$$\sum{F}_x=0\rightarrow f_{roce}-dm\cdot g\cdot sen\theta=0$$

$$\sum{F}_y=0\rightarrow N-dm\cdot g\cdot cos\theta=0$$

Pero se sabe que:

$$f_{roce}=\mu\cdot N$$

Por lo tanto, operando (1), (2) y (3) queda:

$$tan\theta=\mu$$

2) se conoce la masa de arena, el angulo del plano inclinado y el volumen de un cono. En este punto encontraria una relacion entre el radio de la base, la altura y el angulo, para luego despejar en

$$m=\rho_{arena}\cdot V_{cono}$$

$$\displaystyle V_{cono}=\frac{\pi\cdot R^2\cdot H}{3}$$

La relacion entre el radio de la base y la altura es [usando (4)]:

$$\displaystyle tan\theta=\frac{H}{R}\rightarrow R=\frac{H}{\mu}$$

Ahora se opera (5), (6) y (7) obteniendo la altura máxima del cono de arena:

$$\displaystyle H_{maxima}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot m_{arena}\cdot \mu^2}{\pi\cdot\rho_{arena}}}$$