Otras carreras 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

[josemiclfa]

Bueno, el primer ejercicio dice así:

1.-)

a) ¿Cuál será el valor de g a una altura igual al radio de la Tierra? ($R_T =6370 km$; $g_0= 9'8 m/s^2$)

b)¿Cuál será el periodo de un satélite artificial de la Tierra en una órbita circular a dicha altura?

Las soluciones al ejercicio (es un libro que te da las soluciones) es: a) $2'45 m/s^2$ b) $4'0 m$
_____________________________________________________________________


2.-) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad de $4000 m/s$. Calcula la altura máxima que alcanzará. Dato: $R_T = 6400 km$.

Solución: $h= 9'4 \cdot 10^5$
_____________________________________________________________________


En el primer ejercicio el apartado a) no he sabido sacar una fórmula que me relacione g_0 y g. Solo he hecho pasar los km a m y ya está. El apartado b) he planteado la fórmula $\displaystyle T= 2\pi \sqrt { \frac {R^3}{G \cdot M_t}}$ y con ésta no sale... También he cogido la fórmula $\displaystyle T= \frac {2\pi R}{\sqrt {\frac {G\cdot M_T}{R}}}$ y tampoco sale...

_____________________________________________________________________

En el segundo ejercicio he tomado la fórmula de la velocidad de lanzamiento:

$\displaystyle V_L = \sqrt {2GM_T ( \frac {1}{R_T} - \frac {1}{R_T+h})}$

Aquí me he quedado sin saber despejar h , lo he elevado todo al cuadrado y no he sabido despejar h... haber si me pueden ayudar. Gracias.

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Bueno, el primer ejercicio dice así:

1.-)

a) ¿Cuál será el valor de g a una altura igual al radio de la Tierra? ($R_T =6370 km$; $g_0= 9'8 m/s^2$)

b)¿Cuál será el periodo de un satélite artificial de la Tierra en una órbita circular a dicha altura?

Las soluciones al ejercicio (es un libro que te da las soluciones) es: a) $2'45 m/s^2$ b) $4'0 m$
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2.-) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad de $4000 m/s$. Calcula la altura máxima que alcanzará. Dato: $R_T = 6400 km$.

Solución: $h= 9'4 \cdot 10^5$
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En el primer ejercicio el apartado a) no he sabido sacar una fórmula que me relacione g_0 y g. Solo he hecho pasar los km a m y ya está. El apartado b) he planteado la fórmula $\displaystyle T= 2\pi \sqrt { \frac {R^3}{G \cdot M_t}}$ y con ésta no sale... También he cogido la fórmula $\displaystyle T= \frac {2\pi R}{\sqrt {\frac {G\cdot M_T}{R}}}$ y tampoco sale...

_____________________________________________________________________

En el segundo ejercicio he tomado la fórmula de la velocidad de lanzamiento:

$\displaystyle V_L = \sqrt {2GM_T ( \frac {1}{R_T} - \frac {1}{R_T+h})}$

Aquí me he quedado sin saber despejar h , lo he elevado todo al cuadrado y no he sabido despejar h... haber si me pueden ayudar. Gracias.

A ver, para el apartado a) tienes que recordar que la gravedad es:

$g = G \cdot \dfrac{M}{r}$

Donde $r$ es la distancia, pues bien en la superficie de la Tierra la gravedad es:

$g = G \cdot \dfrac{M_t}{R^2_t} \approx 9,8 ms^{-2}$

Pero la gravedad a una cierta altura sobre la superficie terrestre es:

$g = G \cdot \dfrac{M_t}{(R_t + h)^2}$

Donde $h$ es la altura donde queremos calcular el valor de la gravedad. Ahora con esto y con la condición que te imponen en el enunciado ya puedes calcularlo.

El apartado b) tienes que tener en cuenta que te dan la altura, es la misma que la que te imponen en el apartado a), el perído te deberia dar lo mismo en ambas fórmulas ( bastante aproximado ya que a veces se va un poco el resultado, pero con esta expresión ya te basta:

$T = \dfrac{2\pi ( R_t + h )}{v}$

como sabes la expresión de la velocidad orbital puedes calcular el período. ( Por cierto la respuesta b) no puede dar 4 m ya que te piden un período... )

Para el segundo ejercicio lo debes hacer por energías, ten en cuenta que tienes una energía cinética y potencial inicial que será igual a otra potencial, y despejas la altura.


saludos

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Acabo de hacerlos, todos son correctos

saludos

Edito algunos errores.

[josemiclfa]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Acabo de hacerlos, el apartado a) es correcto, el b) me da 4 días más o menos y el c) 7,3 . 10^6 m... supongo que lo tendré mal...


saludos

Si, el ejercicio 1 lo tienes bien, excepto que no son 4 días, sino 4 h, que yo en soluciones que puse me equivoque y puse 4 m. En el ejercicio 2 (para ti apartado c)) Si lo tendrías mal, ya que el solucionario dice que son $\displaystyle 9'4 \cdot 10^5 m$.

En lo que anteriormente me dijiste, ; al desarrollar la velocidad te quedaría la fórmula que yo dije antes: ; excepto que la tuya es... mmm... voy a hacerlo que creo que se me ha encendido la bombilla

[josemiclfa]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

mmmm... pues no, porque así haciendo despejes y demás me he dado cuenta que el período no lo tengo, con lo cual... Mañana pondré el resultado de los 2 ejercicios para resolver la duda que haya podido crear a los lectores del problema.

[Marce_]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

En el segundo ejercicio he tomado la fórmula de la velocidad de lanzamiento:

$\displaystyle V_L = \sqrt {2GM_T ( \frac {1}{R_T} - \frac {1}{R_T+h})}$

Aquí me he quedado sin saber despejar h , lo he elevado todo al cuadrado y no he sabido despejar h... haber si me pueden ayudar. Gracias.

Para que no te quedes con la duda:

$\displaystyle V_L = \sqrt {2GM_T ( \dfrac {1}{R_T} - \frac {1}{R_T+h})}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\displaystyle V_L^2R_T(R_T+h) = 2GM_Th$

Y finalmente

$\displaystyle \boxed{h=\dfrac{V_L^2R_T^2}{2GM_T-V_L^2R_T}}$

Un abrazo.-

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Si, el ejercicio 1 lo tienes bien, excepto que no son 4 días, sino 4 h, que yo en soluciones que puse me equivoque y puse 4 m. En el ejercicio 2 (para ti apartado c)) Si lo tendrías mal, ya que el solucionario dice que son $\displaystyle 9'4 \cdot 10^5 m$.

En lo que anteriormente me dijiste, ; al desarrollar la velocidad te quedaría la fórmula que yo dije antes: ; excepto que la tuya es... mmm... voy a hacerlo que creo que se me ha encendido la bombilla

Las dos expresiones son equivalentes solo ten en cuenta que R es la suma del radio de la tierra más la altura que se encuentra sobre la superfície ( el radio orbital ), y sí tienes razón, son 4 horas, que despistado que estaba ayer escribiendo las respuestas porque lo tenía todo bien .

Para que no te quedes con la duda:

$\displaystyle V_L = \sqrt {2GM_T ( \dfrac {1}{R_T} - \frac {1}{R_T+h})}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\displaystyle V_L^2R_T(R_T+h) = 2GM_Th$

Y finalmente

$\displaystyle \boxed{h=\dfrac{V_L^2R_T^2}{2GM_T-V_L^2R_T}}$

Un abrazo.-

Es correcto, me da el mismo resultado que en tu libro josemiclf ( con un proceso equivalente ), sólo que cuando escribi la respuesta correcta se me olvide restar el radio de la tierra .


saludos

[josemiclfa]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Pues en efecto, es así el número 2. El 1 el apartado a) es:

$\displaystyle g_h = \frac {GM}{(R+h)^2} ==> g_h= \frac {GM}{4R^2} ==> g_h= \frac {g_0}{4}= 2'45 m/s^2$


El b no lo hemos llegado a corregir pero Ulises ya lo tenía bien y supongo que estará bien. En cuanto al dos, como ya he dicho, está perfecto como lo puso Marce.

Gracias a todos.

[Nefest]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Hahaha estos ejercicios son McGrawHill 2ºbat,casualmente estoy dando el mismo temario y tengo dudas hacerca de como resolver estos ejercicos :
1º)Marte tiene dos satélites, llamados Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen radios 900 y 23000 km respectivamente.Fobos tarda 7.7h en dar una vuelta arededor del planeta.Aplicando las leyes de Kepler halla el periodo de Deimos.
2º)Se lanza un cuerpo verticalmente hacia aariba con una velocidad inicial de 50m/s.Si el rozamiento con el aire es despreciable calcula,utilizando el principio de conservación de la energía mecánica,la altura máxima que alcanza.¿Qué altura máxima alcanzará en caso de que haya rozamiento y se pierda para vencerlo 20% de la ener´gia de lanzamiento?


Agradeceria que me lo explicasen

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Hahaha estos ejercicios son McGrawHill 2ºbat,casualmente estoy dando el mismo temario y tengo dudas hacerca de como resolver estos ejercicos :
1º)Marte tiene dos satélites, llamados Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen radios 900 y 23000 km respectivamente.Fobos tarda 7.7h en dar una vuelta arededor del planeta.Aplicando las leyes de Kepler halla el periodo de Deimos.
2º)Se lanza un cuerpo verticalmente hacia aariba con una velocidad inicial de 50m/s.Si el rozamiento con el aire es despreciable calcula,utilizando el principio de conservación de la energía mecánica,la altura máxima que alcanza.¿Qué altura máxima alcanzará en caso de que haya rozamiento y se pierda para vencerlo 20% de la ener´gia de lanzamiento?


Agradeceria que me lo explicasen

A ver, en 1) tienes que aplicar la 3ª ley de Kepler:

$T^2 = kr^3 \rightarrow T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G \cdot M}r^3$

Lo que tienes que hacer es un sistema de 2 ecuaciones, una teniendo en cuenta a Fobos y la otra ecuación considerando a Deimos, después puedes resolver por ejemplo utilizando el método de reducción ( así se irán las constantes ya que son iguales por el hecho de estar orbitando el mismo planeta ) y obtienes lo que te piden, a mi me da $T_D =3,58 \cdot 10^{6} s.<br />$

El 2) tienes que igualar la energía mecánica inicial a la final, es decir la energía potencial de la superficie más la energía cinética dada por la velocidad que te dan es igual a la energía potencial más la cinética, el otro punto es igual que este pero imponiendo la condición, si necesitas más ayuda pídela pero más concretamente y ten en cuenta que cada vez que tengas una duda deberías crear un hilo nuevo.

saludos

[Nefest]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Para que no te quedes con la duda:

$\displaystyle V_L = \sqrt {2GM_T ( \dfrac {1}{R_T} - \frac {1}{R_T+h})}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\displaystyle V_L^2R_T(R_T+h) = 2GM_Th$

Y finalmente

$\displaystyle \boxed{h=\dfrac{V_L^2R_T^2}{2GM_T-V_L^2R_T}}$

Un abrazo.-

Me podrias explicar que has echo entre el 3º y 4 º paso

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Me podrias explicar que has echo entre el 3º y 4 º paso

Simplemente a continuado con el despeje de la altura pero ha puesto el resultado directamente, paso por paso seria:

$v^2_L R_T( R_T + h ) = 2 G M_T h$

$v^2_L R^2_T + v^2_L R_Th = 2 G M_T h$

$v^2_L R^2_T = 2 G M_T h - v^2_L R_Th$

$h ( 2GM_T - v^2_L R_T ) = v^2_L R^2_T$

$\boxed{h = \dfrac{v^2_L R^2_T}{2GM_T - v^2_L R_T}}$


saludos

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Para Nefest y Josemiclfa voy a exponer cómo se desarrollan los problemas de este tipo ( los de energías ), primero de todo hay que tener en cuenta que un cuerpo que orbita con un radio orbital $r$ ( desde es centro de masas del planeta al centro de masas del cuerpo que orbita ) tiene una energía orbital que es la suma de la energía potencial que tiene más la energía cinética por el hecho de estra en movimiento, recordemos que la expresiones de estos dos tipos de energías son:

$E_{pg} = -G \dfrac{M \cdot m}{r}$

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2 = G\dfrac{M \cdot m}{2r}$

Donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ la masa sobre la cual orbitan. $m$ la masa del satélite y $r$ el radio de la orbita.

Por tanto la energía de la órbita que a partir de ahora llamaremos energía orbital será:

$E_{orb} = E_c + E_{pg} = G\dfrac{M \cdot m}{2r} -G \dfrac{M \cdot m}{r} = -G\dfrac{M \cdot m}{2r} \longrightarrow \boxed{E_{orb} = -G\dfrac{M \cdot m}{2r}}$

Pues bien, está es la energía que tienen los satétiles por el mero hecho de estar orbitando, asi mismo es la energía que tendremos que comunicarle a los cuerpos para ponerlos en órbita a ése radio $r$, si queremos comunicar a un cuerpo la energía suficiente para que orbite a una altura h sobre la superfície de un planeta hemos de tener en cuenta que este cuerpo ya posee una energía potencial que es la que posee por el hecho de estar en la superfície del planeta. obviaremos la energía cinética de rotación ( para realizar el cálculo más sencillo, pero las bases de lanzamiento están situadas cerca del ecuador para aprovechar la energía cinética de la Tierra ) y le tendremos que comunicar una energía cinética que llamaremos energía de satelización para poner en órbita al satélite. Expresemos lo comentado matemáticamente:

$E_{pg0} + E_s = E_{orb}$

$E_s = E_{orb} - E_{pg0} = -G\dfrac{M \cdot m}{2r} + G \dfrac{M \cdot m}{R} = \dfrac{-G M m R + 2 G M m r}{2rR} = \dfrac{G M m ( 2r - R)}{2Rr} = G M m (\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r})$

$\boxed{E_s = G M m (\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r})}$

Esta energía de satelización no es más que una energía cinética, por tanto:

$E_s = G M m (\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r})$

$\dfrac{1}{2}mv^2 = G M m (\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r})$

$\boxed{v = \sqrt{2G M m (\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r})}}$

Es de aquí de donde sale la expresión que ha salido varias veces, esta es la velocidad que se le comunica al satélite para ponerlo con una órbita r.

Después es cuestión de ir 'jugando' con lo que te piden, condiciones, restricciones, etc.


saludos


Donde R es el radio del planeta, como tenemos que:

$r = R + h$

[Ulises7]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

$\boxed{v = \sqrt{2G M (\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r})}}$

Es de aquí de donde sale la expresión que ha salido varias veces, esta es la velocidad que se le comunica al satélite para ponerlo con una órbita r.

La velocidad de lanzamiento queda como la he puesto ahora. ( No sé por qué no me deja editar , supongo que será por el tiempo del anterior mensaje... )

[josemiclfa]

Re: 2 ejercicios del tema: Ley de la Gravitacion Universal (perdón si no va aqui)

Por no abrir otro hilo y aprovechar éste (que están todas las fórmulas puestas para el que entre nuevo), me gustaría saber si este ejercicio está bien. La altura máxima (apartado b) se me antoja poco, pero es lo que me ha dado.


El radio de marte me da 3185000 m. Bueno el apartado a me ha salido que la $V_e= 5284 m/s$ y la explicación puse: "Ésta velocidad es la que debe de ejercer un cohete para salir de la atracción de Marte".
El apartado b) los 720 km/h los pasé a m/s y me da 200 m/s. He utilizado la fórmula ya despejada de h dada en éste hilo y me da 4569 m. Se me antoja poco, ¿puede ser?