1r ciclo Centro de masa de un aro

[nacho_loco]

¿Alguien puede ayudarme a deducir el centro de masa de un aro de radio R?el problema es que hasta ahora nunca habia visto el concepto de centro de masa y me veo un poco perdido en esto, supongo que debo hacerlo por coordenadas y situar el punto (0,0) del eje de coordenadas en el centro del aro, pero a la hora de realizar los calculos nose como hacerlo, haber si alguien me puede ayudarr!!
Gracias!!

[Metaleer]

Re: Centro de masa de un aro

Hola.

Todos se hacen de forma parecida. Colocando el centro geométrico del aro en el origen como bien te ha dicho tu intuición, invocamos la definición de centro de masa:

$$\displaystyle \mathbf{r}_G = \frac{\int \mathbf{r} dm}{\int dm},$$

donde las integrales se extienden a todo el anillo. Voy a coger el ángulo $\theta$ que forma el radio vector con el eje de abscisas; así queda que $dm = \lambda dl = \lambda R d \theta$, donde $R$ es el radio del anillo y $\lambda$ la densidad lineal de masa. Si usas coordenadas polares, tienes que

$x = R \cos \theta,$

$y = R \sin \theta,$

luego $\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} = R \cos \theta \mathbf{i} + R \sin \theta \mathbf{j}$. Sustituyendo:

$$\displaystyle \mathbf{r}_G = \frac{\int \mathbf{r} dm}{\int dm} = \frac{\int_0^{2 \pi} (R \cos \theta \mathbf{i} + R \sin \theta \mathbf{j}) \lambda R d \theta}{\int_0^{2 \pi} \lambda R d \theta} = 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j},$$

luego el centro de masas coincide con el centro geométrico: es el punto $(0, 0)$.

Saludos.

[nacho_loco]

Re: Centro de masa de un aro

el procedimiento mas o menos lo entiendo pero no veo porque pones , es decir, la primera parte de l igualdad sale de masa=densidad*longitud, pero la segunda parte nose de que igualdad es

[Metaleer]

Re: Centro de masa de un aro

el procedimiento mas o menos lo entiendo pero no veo porque pones , es decir, la primera parte de l igualdad sale de masa=densidad*longitud, pero la segunda parte nose de que igualdad es

Verás, tienes para empezar la definición de densidad lineal de masa:

$$\displaystyle \lambda = \frac{dm}{dl} \Rightarrow dm = \lambda dl,$$

pero para un arco de circunferencia,

$$\displaystyle l = R\theta \Rightarrow dl = R d \theta,$$

y por tanto

$$dm = \lambda dl = \lambda R d \theta.$$

Saludos.