Secundaria Ejecicio de campo gravitatorio

[Nefest]

Tengo dudas hacerca de como resolver este ejercicio:
Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Mercurio, se el radio de la Tierra es tres veces mayor que el de Mercurió y la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad media de la tierra
Datos:go=9,8m/s^2
No se pueden utilizar datos como la Mt ,Rt ,G...

[arreldepi]

Re: Ejecicio de campo gravitatorio

Tengo dudas hacerca de como resolver este ejercicio:
Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Mercurio, se el radio de la Tierra es tres veces mayor que el de Mercurió y la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad media de la tierra
Datos:go=9,8m/s^2
No se pueden utilizar datos como la Mt ,Rt ,G...

Hola, supongo que se trata de considerar los planetas como dos esferas de volumenes:

$$V_t = \frac 43 \pi R_t^3$$

$$V_m = \frac 43 \pi R_m^3$$

Sabes que: $R_t = 3R_m$ y $\rho_m = \frac 35 \rho_t$.

Entonces, la masa de la Tierra es:

$$\rho_t\cdot V_t = \rho_t\cdot\frac{4}{3}\pi (R_t)^3,$$

y la de Mercurio:

$$\rho_m\cdot V_m = \rho_m\cdot\frac{4}{3}\pi (R_m)^3 \Longrightarrow \frac 35\rho_t\cdot\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R_t}{3}\right)^3$$

La gravedad en la Tierra, viene dada por:

$$g_t = G\frac{M_t}{(R_t)2},$$

y la de Mercurio:

$$g_m = G\frac{M_m}{(R_m)2},$$

Si lo dejamos todo en función de los valores que conocemos:

$$g_t = G\frac{\rho_t\cdot\frac{4}{3}\pi (R_t)^3}{R_t^2} = G\rho_t\frac 43 \pi R_t$$

$$g_m = G\frac{\frac 35\rho_t\cdot\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R_t}{3}\right)^3}{\left(\frac{R_t}{3}\right)^2} = G\frac 35 \rho_t \frac 43 \pi \left(\frac{R_t}{3}\right)$$

Con lo cual, si relacionamos $g_t$ y $g_m$:

$$\frac{g_t}{g_m}=\frac{G\rho_t\frac 43 \pi R_t}{G\frac 35 \rho_t \frac 43 \pi \left(\frac{R_t}{3}\right)}$$

Simplificando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Despejamos la gravedad de mercurio:

$$g_m = g_t\frac{3}{15} = 1,96 m/s^2$$

He mirado en wikipedia y el valor no cuadra, pero es que la relación entre las densidades de mercurio y la tierra tampoco es esa, según los datos la relación es:

$$\rho_t \approx 1,016 \rho_m$$

Un saludo!