1r ciclo Las cuñas

[neometalero]

Dos cuñas triangulares de masas M=12Kg y m=4Kg y anchuras a=40cm y b=20cm se encuentran en reposo sobre una mesa horizontal. Las superficies de contacto entre las cuñas y con la mesa no tienen rozamiento. Hallar el retroceso de la cuña inferior, cuando la superior desliza hasta tocar la mesa. Están colocadas una encima de la otra de manera que coinciden sus hipotenusas.

En este problema ando en blanco, no se si debo usar conservación del momento, centro de masas, segunda ley de Newton... alguna sugerencia?

[Nachop]

Re: Las cuñas

Yo lo haría con las normales

La componente horizontal de la fuerza de reacción a la normal ejercida por el triángulo superior, es la que hace que el sistema se mueva en el eje X

[neometalero]

Re: Las cuñas

Gracias pero no lo veo, no tengo ángulos y no se donde voy a meter o a sacar una distancia a partir de una fuerza normal, que verde me veo!!! jajajaja

[Nachop]

Re: Las cuñas

Gracias pero no lo veo, no tengo ángulos

El ángulo se podría obtener de la geometría de las cuñas, pero como no te dan más información de la que está ahí, efectivamente no se puede determinar

También se podría abordar el problema con energía, pero esta forma también queda corta por no sabes más acerca de la geometría del problema

y no se donde voy a meter o a sacar una distancia a partir de una fuerza normal

Con la fuerza normal puedes obtener la aceleración con que se mueve el sistema e integrando dos veces obtienes la distancia

[neometalero]

Re: Las cuñas

Gracias!! la verdad es que pocas cosas sé del problema, a ver si mañana consigo algo.

[electr0n]

Re: Las cuñas

Hola a todos!

Casualmente he encontrado el mismo problema en una lista que bajé de internet, de modo que voy a exponer el método que he seguido para resolverlo y así contribuyo en el foro.

Muchas gracias a Ulises7 por pasarme el enlace al mini-tutorial. Vuelvo a poner la solución con las fórmulas bastante más claras.

Solución (MÉTODO 1):
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1) Colocamos un sistema de referencia fijo en la cuña grande (masa "M"), centrado en el borde inferior de la pequeña (masa "m") en el instante t=0, y estudiamos la Dinámica sin rozamiento de la cuña pequeña conforme desliza por el plano inclinado. En principio no conocemos el ángulo de inclinación, así que lo llamamos $\theta$ y trabajamos con él.

Como ya existe un parámetro en el sistema denominado "a", llamamos $\vec{u}(t)$ a la aceleración de la cuña y aplicamos la 2ª ley de Newton en las componentes normales:

$\displaystyle N\cdot sen\theta = m\cdot u_x$

$\displaystyle N\cdot cos\theta - m\cdot g = m\cdot u_y$

y eliminamos la normal N entre ambas, obteniendo como resultado tras hacer operaciones:

$\displaystyle u(t) = g\cdot sen\theta = constante$

Ahora, por integración directa en t obtenemos la velocidad:

$\displaystyle v(t) = g sen\theta\cdot t + cte.$

Cuña pequeña en reposo inicial -> v(0) = 0 -> $\displaystyle v(t) = g\cdot sen\theta\cdot t$

Integrando nuevamente, calculamos la ecuación de la posición sobre el plano:

$\displaystyle x(t) = \frac{1}{2}\cdot g\cdot sen\theta\cdot t^2 + cte.$

El borde inferior cuña pequeña x(0) = 0 -> $\displaystyle x(t) = \frac{1}{2}\cdot g\cdot sen\theta\cdot t^2$

2) Calculamos la distancia recorrida por la cuña pequeña hasta que su borde inferior toca el suelo.

Dado que las dimensiones de ambas cuñas no son despreciables (de hecho, son datos del problema "a" y "b"), tenemos las expresiones para sus hipotenusas:

Cuña grande: $\displaystyle d_1 = \frac{a}{cos\theta}$

Cuña pequeña: $\displaystyle d_2 = \frac{b}{cos\theta}$

El ángulo $\theta$ es desconocido, pero es el mismo en ambas cuñas porque son triángulos semejantes.

Entonces, la distancia que recorre la cuña pequeña, en concreto su borde inferior, será:

$\displaystyle d = \frac{a-b}{cos\theta}$

3) Calculamos el tiempo $t_f$ que invierte la cuña pequeña en descender la distancia d:

$\displaystyle d = \frac{1}{2}\cdot g\cdot sen\theta\cdot t_f^2$

$\displaystyle t_f = \sqrt{\frac{2\cdot (a-b)}{g\cdot sen\theta\cdot cos\theta}}$

4) Ahora consideramos las cuñas como un sistema de dos cuerpos que interaccionan a través de fuerzas interiores (reacción normal de la cuña grande sobre la pequeña) y sobre los cuales se ejercen fuerzas exteriores (los dos pesos y la reacción normal del suelo sobre la cuña grande -no hay rozamiento-). Estas fuerzas tienen dos componentes y concretamente los pesos y la reacción normal sobre la cuña grande sólo tienen componente vertical; es decir, la suma de fuerzas exteriores en dirección x es nula. Acudimos a la expresión general de la 2ª ley de Newton:

$\displaystyle \sum_{i}F_{ix,ext}=\frac{dp_x}{dt}= 0$

$\displaystyle p_x = constante$

lo que significa que se conserva la componente horizontal del momento lineal del sistema en todo instante.

La aplicación de esta conservación se efectúa teniendo en cuenta que en t=0 ambos bloques están en reposo, por lo que el momento lineal total del sistema es 0. Cuando la cuña pequeña adquiere velocidad $\vec{v}_1(t)$, el sistema entero compuesto por las dos cuñas adquiere otra velocidad $\vec{v}_2(t)$ en dirección horizontal y sentido opuesto a la componente x de $\vec{v}_1$, para que sea efectiva la conservación del momento en dicha dirección:

$\displaystyle m\cdot v_{1x}(t) + (m+M)\cdot v_2(t) = 0$

$\displaystyle m\cdot v_1(t)\cdot cos\theta+ (m+M)\cdot v_2(t) = 0$

$\displaystyle m\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta\cdot t+ (m+M)\cdot v_2(t) = 0$

5) De la expresión de conservación, despejamos la velocidad del sistema, que es la velocidad de retroceso:

$\displaystyle v_2(t) = - \frac{m}{m+M}\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta\cdot t$

donde el signo (-) indica que el movimiento horizontal del sistema es opuesto al de la cuña pequeña.

Integrando, calculamos la ecuación del MRUA correspondiente al retroceso del sistema (en valor absoluto):

$\displaystyle |r(t)|=\frac{m}{2(m+M)}\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta\cdot t^2 + cte.$

Para este sistema r(0) = 0 -> $\displaystyle |r(t)|=\frac{m}{2(m+M)}\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta\cdot t^2$

6) Recuperamos el tiempo invertido por la cuña pequeña en descender y lo sustituimos en la expresión anterior para calcular la distancia exacta R que ha retrocedido el sistema:

$\displaystyle R = |r(t_f)| = \frac{m}{2(m+M)}\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta\cdot \frac{2\cdot (a-b)}{g\cdot sen\theta\cdot cos\theta}$

Como cabía esperar, todos los argumentos en $\theta$ se cancelan y el resultado es:

RETROCESO: $\displaystyle R = \frac{m\cdot (a-b)}{m+M}$

Sustituyendo por los datos del problema, obtenemos el resultado esperado: R = 5cm.


Solución (MÉTODO 2):
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Existe un método alternativo para resolver este problema, dibujando el diagrama del cuerpo libre en las dos cuñas y aplicando a cada una la 2ª ley de Newton. Según ésto, las fuerzas sobre cada cuña son:

Fuerzas sobre la cuña pequeña:

- Su peso = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
- La reacción normal que ejerce la cuña grande = $N_1$

Fuerzas sobre la cuña grande:

- Su peso = [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
- La reacción normal que ejerce el suelo = $N_2$
- El empuje perpendicular al plano inclinado debido al peso de la cuña pequeña = $F$

La aplicación simplificada de la 2ª ley de Newton en ambos casos resulta:

$\displaystyle m\cdot g\cdot sen\theta = m\cdot a_1$

$\displaystyle N_1 = m\cdot g\cdot cos\theta$

$\displaystyle F\cdot sen\theta = M\cdot a_2$

$\displaystyle N_2 = M\cdot g + F\cdot cos\theta$

donde denotamos por $F$ a la acción de la cuña pequeña sobre la grande, a priori desconocida, y las aceleraciones $\vec{a}_1(t)$ y $\vec{a}_2(t)$ se miden esta vez respecto de un sistema de coordenadas fijo en el suelo. Nótese que el módulo de la normal $N_2$ NO coincide con el módulo del peso $M\cdot g$ y que, como es lógico, la fuerza $\vec{F}$ es la causante del retroceso del sistema.

Por otro lado, el principio de acción-reacción nos indica que en dirección perpendicular al plano inclinado, la fuerza $\vec{F}$ tiene que ser igual y opuesta a la normal $\vec{N}_1$, es decir: $F=N_1$. Sabido esto, utilizamos ahora la 1ª, 2ª y la 3ª ecuaciones, que contienen las aceleraciones que nos interesan:

$\displaystyle m\cdot g\cdot sen\theta = m\cdot a_1$

$\displaystyle m\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta = M\cdot a_2$

De modo que, teniendo ahora cuidado con los signos, las componentes x de las aceleraciones tienen sentidos opuestos y las relaciones entre sus módulos son:

$\displaystyle M\cdot a_2 = - m\cdot cos\theta\cdot a_1$

$\displaystyle a_2 = -\frac{m}{M}\cdot cos\theta\cdot a_1$

Las aceleraciones $a_1$ y $a_2$ son relativas a las cuñas por separado, de modo que para conocer la aceleración de retroceso del sistema completo debemos aplicar el principio de superposición y sumar ambas aceleraciones. Lo que nos interesa conocer es la aceleración en componente horizontal y hacia la izquierda, luego:

$\displaystyle a = a_2 - a_1\cdot cos\theta$

$\displaystyle a = -a_1\cdot \frac{m}{M}\cdot cos\theta - a_1\cdot cos\theta = -a_1\cdot (\frac{m}{M}\cdot cos\theta + cos\theta) = -a_1\cdot \frac{m+M}{M}\cdot cos\theta$

$\displaystyle a = -\frac{m+M}{M}\cdot g\cdot sen\theta\cdot cos\theta$

Integrando dos veces esta aceleración y recordando la expresión del tiempo que tarda en descender la cuña pequeña (explicada con el método anterior), llegamos exactamente al mismo resultado para el retroceso R.

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Espero que sirva de ayuda.

Saludos!

[Ulises7]

Re: Las cuñas

Para electr0n, eso que dices de las ecuaciones tiene fácil solución, no te llevará más que algunos minutos .


saludos