1r ciclo Gravitación

[Maxi232]

Una nave espacial de masa m es lanzada desde la superficie terrestre con una velocidad que forma un angulo alfa con dicha superficie. Suponga que la tierra, de masa Mt y radio Rt, permanece en reposo y que toda su masa se halla concentrada en su centro.
Bueno me piden escribir el potencial efectivo, graficarlo y decir para que valores de energia mecanica el movimiento es ligado. Lo hice pero me queda que no puede ser un movimiento ligado, les escribo mi resolución.

Use coordenadas polar y plantie que se conserva el momento angular y la energia mecánica.

$L (t=0) = mR_tV_ocos\alpha<br />$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$L(t) = L (t=0)$

$\omega = \frac{R_tV_ocos\alpha}{r^2}$


$H(t) = \frac{1}{2}m({\frac{dr}{dt}}^2 + r^2\omega^2) - \frac{GmM_t}{r}$

Reemplazo $\omega$

$H(t) = \frac{1}{2}m{\frac{dr}{dt}}^2 + \frac{1}{2}m\frac{R_t^2V_o^2cos^2\alpha}{r^2} - \frac{GmM_t}{r}$

Los dos últimos terminos serian el potencial efectivo, pero al graficarlo no aparece la posibilidad de que exista un movimiento ligado (puntos de retorno) Estoy graficandolo mal o me equivoque en el planteo? Saludos!

[alespa07]

Re: Gravitación

Una nave espacial de masa m es lanzada desde la superficie terrestre con una velocidad que forma un angulo alfa con dicha superficie. Suponga que la tierra, de masa Mt y radio Rt, permanece en reposo y que toda su masa se halla concentrada en su centro.
Bueno me piden escribir el potencial efectivo, graficarlo y decir para que valores de energia mecanica el movimiento es ligado. Lo hice pero me queda que no puede ser un movimiento ligado, les escribo mi resolución.

Use coordenadas polar y plantie que se conserva el momento angular y la energia mecánica.

$L (t=0) = mR_tV_ocos\alpha<br />$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$L(t) = L (t=0)$

$\omega = \frac{R_tV_ocos\alpha}{r^2}$


$H(t) = \frac{1}{2}m({\frac{dr}{dt}}^2 + r^2\omega^2) - \frac{GmM_t}{r}$

Reemplazo $\omega$

$H(t) = \frac{1}{2}m{\frac{dr}{dt}}^2 + \frac{1}{2}m\frac{R_t^2V_o^2cos^2\alpha}{r^2} - \frac{GmM_t}{r}$

Los dos últimos terminos serian el potencial efectivo, pero al graficarlo no aparece la posibilidad de que exista un movimiento ligado (puntos de retorno) Estoy graficandolo mal o me equivoque en el planteo? Saludos!

Hola. Efectivamente, el potencial efectivo, para una fuerza central, siempre es:

$U_{eff}(r)=U(r)+\displaystyle\frac{L^2}{2mr^2}$

Lo que en tu caso se convierte en:

$U_{eff}(r)=-\displaystyle\frac{GmM_T}{r}+\displaystyle\frac{L^2}{2mr^2}$

A la hora de graficar, verás que el potencial va decreciendo hacía un mínimo para una cierta energía mínima negativa $U_0$ y crece asintóticamente hacia 0. Así pues, para energías negativas mayres que $U_0$ tendrás un a trayectoria cerrada (elíptica o circular) con dos puntos de retorno.

Saludos.