1r ciclo Aceleraciones en Rodadura pura (rodadura sin deslizamiento)

[Xel]

Hola, estoy bloqueado en un ejercicio de exámen relacionado con esto, pero antes me gustaría terminar de rematar este tema de las aceleraciones en rodadura pura, que, aunque lo he visto comentado en alguna otra sección del foro, no termino de quedarme a gusto porque en mi caso utilizamos el método gráfico para el análisis cinemático, y aquí no lo veo mucho.

Weno, al turrón, quiero confirmar si es cierto que, en la rodadura pura de un simple disco que rueda por un plano horizontal, la aceleración del punto situado en el punto de contacto con el suelo, y perteneciente al disco, puede ser considerado de valor conocido e igual a ω²·r en la resolución de los problemas, y si sólo conozco r y ω.
Se que su dirección es la normal al punto de tangencia y su sentido hacia el centro del disco, pero no estoy muy seguro de si puedo darle el valor ω²·r , pues me supondría una incógnita menos en la resolución de otros problemas.

He estado dándole vueltas y creo que si se puede, incluso independiéntemente de que haya algún otro elemento conectado al disco y cambie algo el problema.

weno, aquí pongo mi análisis a ver qué opinais:
El suelo es el elemento 1 y el disco es el elemento o eslabón 2.
(Punto de contacto : "P" ; Centro del disco: "O")

1º) ap2 = ap1 + (ap2/p1)n + (ap2/p1)t + acor
ap1 = 0 (el suelo no se mueve)
(ap2/p1)n = (ap2)n - (ap1)n = ? - 0 = ? //PO (dirección vertical)
(ap2/p1)t = (ap2)t - (ap1)t = 0 (Por condición de rodadura pura, o sea (ap2)t = (ap1)t )
acor = 2·ω1·Vp2/p1 = 0 (el suelo no se mueve y P es un CIR)

... o sea, que de aquí lo único que saco es la dirección de ap2 = (ap2)n = ? //PO

2º) ap2 = aO2 + (ap2/O2)n + (ap2/O2)t
ap2 = (ap2)n = ? //PO (dirección vertical)
aO2 = ? (dirección horizontal)
(ap2/O2)n = ω2²·PO //PO (dirección vertical y hacia arriba)
(ap2/O2)t = α·PO ┴ PO (dirección horizontal)

... bien, si dibujo el cinema de aceleraciones de ésta última expresión, tendré un polígno rectangular del que puedo llegar a la conclusión de que, independientemente del valor desconocido de los vectores horizontales [aO2 y (ap2/O2)t ], el valor en módulo dirección y sentido de ap2 es igual al del vector (ap2/O2)n = ω2²·PO = ω2²·r (dirección vertical y hacia arriba).
Y además aO2 y (ap2/O2)t son iguales en módulo y dirección, pero de sentidos opuestos. O sea que también podría decir que aO2 = α·PO ┴ PO .

... ale, ya me he quedado agusto ... ... ahora me gustaría saber si está bien el análisis o si se me escapa algo. Aunque algo me dice que es demasiado bonito como para que todo encaje así de bien ... me da que falta algo.

[neometalero]

Re: Aceleraciones en Rodadura pura (rodadura sin deslizamiento)

ufff usa latex, que notacion mas densa, que pereza ponerme a leerla...

[ser humano]

Re: Aceleraciones en Rodadura pura (rodadura sin deslizamiento)

te cuento que no lei tu resolucion, porque la verdad -sin animos de ofender- no me dieron ganas de hacerlo, se veia muy largo .
en principio, esa afirmacion vale si la velocidad angular de la rueda es constante -es decir no tiene aceleracion tangencial-, ya que la expresion que escribiste es la aceleracion centripeta, y para que esta aceleracion sea equivalente a la aceleracion total de ese punto, no tiene que haber aceleracion tangencial.
teniendo en cuenta esto voy a hacer la demostracion -de la cual me siento muy orgulloso porque me asbtuve de ir a ver a la carpeta, y lo hice solo - :

tenemos en cuenta que $\omega r = v$, lo que se puede deducir de la sigueinte manera:
$\omega = \frac {d\theta}{dt}$
tomando un angulo theta diferencial, rectificando el arco y teniendo en cuenta que el radio no varia respecto del tiempo (ya que es un cilindro lo que rota) queda (si tenes dudas acerca de esto me avisas y lo explayo, porque en esta deduccion se implementan aproximaciones -o al menos es la deduccion que me salio a mi -):

$\frac {d\theta}{dt} = \frac {d \frac {dx} r }{dt} = \frac {v r - dx 0 }{r^2} = \frac v r$

por lo tanto:

$\omega = \frac v r$ (1)

teniendo en cuenta este resultado, y sabiendo que la aceleracion es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:
$a= \frac {dv}{dt} = {d \omega r} {dt} = \alpha r + \omega v$
donde alpha es la aceleracion angular. como dije al principio para que se cumpla tu afirmacion, no tiene que haber aceleracion tangencial, y por lo tanto no hay aceleracion angular, por lo que:
$a=\omega v$

sustituyendo por los valores en (1):

$a= \omega^2 r$

saludos

[Xel]

Re: Aceleraciones en Rodadura pura (rodadura sin deslizamiento)

vaya, gracias, aunque no es lo que esperaba ... pero teneis razón, sin embargo es mi primer post y no he llegado a conocer el LATEX, que parece interesante, y además, se me pasó comentar que en el problema que he planteado, el análisis corresponde sólo a un instante del tiempo, osea, sólo quiero analizar los vectores de aceleración de esa foto.

Entonces, siendo así la situacion, en principio sólo considero el valor de la velocidad angular para ese instante, que es el dato inicial. Y con ese valor, es fácil sacar la aceleración normal del punto P del disco, medido respecto de su centro. Pero a mi lo que me interesa es poder decir que la aceleración de ese punto P es también ese valor, pero no medido desde el centro del disco, si no medido desde un observador situado en el elemento 1, o sea el suelo.

[Ulises7]

Re: Aceleraciones en Rodadura pura (rodadura sin deslizamiento)

vaya, gracias, aunque no es lo que esperaba ... pero teneis razón, sin embargo es mi primer post y no he llegado a conocer el LATEX, que parece interesante

Sigo realizando publicidad de éste artículo...


saludos

[Xel]

Re: Aceleraciones en Rodadura pura (rodadura sin deslizamiento)

weno, voy a volver a escribir el tema de nuevo con eso del LateX, y a ver si me explico mejor:

Tenemos un disco al que le llamo (2), un suelo (1), y el punto de contacto entre ambos (P).
El disco de centro O y radio r = $\overline{OP}$, rueda sin deslizar por el suelo horizontal con una velocidad angular $\omega_2$ de sentido horario, cuyo valor conozco para un instante, pero desconozco si es constante o no, y por lo que no conozco la aceleración angular $\alpha_2$.
Y quiero hallar el valor de la aceleración del punto $P_2$, o sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


NOTA:
Como veis, estoy distinguiendo dos puntos en P ($P_1 y P_2$). O sea, cada elemento es como una lámina tranparente con su correspondiente elemento, y cada punto P está contenido en su lámina correspondiente (lámina 1, lámina 2, etc). Y estas láminas están superpuestas para formar el dibujo del mecanismo. Así, del mismo modo tenemos también dos puntos en O ($O_1 y O_2$). Y esto es lo que empleo en las expresiones de las ecuaciones.

Ecuaciones:

1ª ecuación:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

ahora voy poniendo lo que conozco de cada una de sus partes:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (dirección vertical)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ..... [ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por ser rodadura pura ]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ..... ( $\omega_1 = 0$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por que P es un CIR )

... bien, como casi todo se hace cero, entonces sólo llego a conocer la dirección de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (dirección vertical)

2ª ecuación:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

idem:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (dirección horizontal)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (dirección horizontal)
y
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (dirección vertical) obtenida en la 1ª ecuación

entonces, si hago el dibujo vectorial del cinema de aceleraciones de ésta 2ª ecuación, a una escala elegida, el resultado es un polígono rectangular de lados iguales dos a dos.
O sea, elijo un punto de origen O, donde comenzo dibujando lo que hay a la izquierda de la ecuación, la dirección vertical de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ... después se dibujan los vectores de la derecha de la ecuación y empezando otra vez desde el origen O y uno detrás de otro hasta que el extremo del último vector coincida con el extremo del vector [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] dibujado anteriormente, ok? ... el orden en el que se dibujen los vectores se puede elegir, siempre y cuando se cumpla la ecuación quedando cerrado el polígono de vectores. Como suele desconocerse algún módulo, al final, las propias intersecciones de sus direcciones para cerrar el polígono nos suelen dar el valor de sus módulos a la escala del dibujo. Éste método empleado es el método gráfico.

... bueno, pues de ese polígono rectangular de lados iguales dos a dos veo que, aunque desconozca los módulos de los vectores horizontales, sin embargo sí que puedo conocer el módulo de los vectores verticales, porque [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .. así que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


NOTA:
Cuando se pone [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ... en realidad eso equivale a poner [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , o sea, equivale a su medida respecto del elemento que está fijo, en este caso, el suelo, al que se le suele denominar elemento 1 ... pero por comodidad se expresa [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Pero no confundir con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que hay en la 1ª ecuación, porque esa es la aceleración relativa de $P_2$ respecto de $P_1$, y que he descompuesto en sus componentes normal y tangencial al igual que en la 2ª ecuación también está la aceleación relativa descompuesta en normal y tangencial.
En cuanto a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , esta es la aceleración de coriolis que aparece en la ecuación sólo cuando se relacionan dos puntos pertenecientes a distintos elementos o eslabones. Así, en la 2ª ecuación no hay coriolis porque los dos puntos pertenecen al mismo eslabón 2.


... weno, ale, ya está ... ya no se me ocurre qué más explicar o aclarar ... ufff .. al final me da que me lo voy a explicar a mi mismo ... ¡

ahm ... y el tiempo, como podeis ver, no se tiene en cuenta en este tipo de análisis por el método gráfico ... lo siento por Ser humano, gracias, pero no he podido entender tu explicación ...

.. en fín, que sólo quería confirmar si estoy en lo cierto o no con este método, porque si fuera asi, entonces me sería muy útil saberlo para la resolución de otros problemas con rodadura pura.

... no se, pero tal vez este tema debería haberlo puesto en la sección de Mecánica teórica ...