1r ciclo Cinématica y Dinámica Cuerpo Rígido

[Maxi232]

Saludos, tengo dudas con dos problemas de cuerpo rígido


1) Un cilindro de radio R rueda sin resbalar sobre un plano horizontal. Su centro de desplaza con velocidad Vc. Para los puntos P (periféricos), Q ( a distancia R/2 del centro) y A (sobre una manivela de longitud 2R fija al cilindro) Hallar el vector velocidad en función del tiempo.

En este problema mi duda es que eje de coordenadas tomar, y como expresar el resultado? porque por ejemplo, para la velocidad de los puntos P, el vector me queda en una direccion que va cambiando con el tiempo, como tendria que expresarlo?

2) Un disco cilindrico homogeneo de radio R y masa M1, es arrastrado sobre una superficie horizontal sin friccion por una cuerda que esta unida a un cuerpo de masa M2.

Bueno en este problema me piden calcular varias cosas, pero mi duda principal es, como hace el cilindro para girar? si solo dice que la soga lo arrastra. Tengo que suponer que la soga esta enrollada al cilindro o algo asi? No lo interpreto bien.

Bueno les dejo 2 links donde estan los dibujos de los problemas, estan en PDF y no pude extraer las imagenes.

Problema 1: http://cms.iafe.uba.ar/carmen/docenc...adelrigido.pdf (es el EJERCICIO 11)

Problema 2: http://cms.iafe.uba.ar/carmen/docenc...adelrigido.pdf (es el EJERCICIO 4)

Desde ya muchas gracias

[electr0n]

Re: Cinématica y Dinámica Cuerpo Rígido

Buenas!

Te pongo un dibujo con una forma de resolverlo teniendo en cuenta 2 sistemas de coordenadas: uno fijo como el que aparece en tu problema y otro centrado en el centro de masas del disco que se mueve rodando sin deslizar y trasladándose con velocidad $v_C$ constante respecto del primero.



El punto P es un punto genérico a cierta distancia "r" del centro del disco, que está girando a una velocidad angular $\omega$. La velocidad del centro de masas es constante respecto del primer sistema de coordenadas, por lo que no hay aceleración en C y por tanto

$a_C=\alpha R=0$

$\alpha=0 \Rightarrow \omega=$ constante

En Cinemática de un sólido rígido sabemos que

$\vec r_P=\vec r_{C}+\vec r$

$\vec v_P=\vec v_{C}+\vec\omega\times\vec r$

ecuación vectorial que relaciona en todo momento las velocidades del punto P respecto de ambos sistemas.

Ahora nos fijamos en los vectores a considerar:

$\vec v_C=v_C\cdot\vec i$

$\vec\omega=-\omega\cdot\vec k$

$\vec r=rcos\varphi\cdot\vec i+rsen\varphi\cdot\vec j$

$\vec k\times\vec i=-\vec j , \vec k\times\vec j=-\vec i$

Y por último expresamos en función del tiempo el ángulo $\varphi$ que gira el punto P respecto del sistema en movimiento:

$\varphi (t)=\omega t$

Recuerdo que en el caso de rodadura sin deslizamiento, se cumple:

$v_C=\omega R$

Con todo lo anterior, si haces los cálculos y el producto vectorial, obtienes $\vec v_P(t)$, que es la velocidad del punto P respecto del sistema de referencia fijo y en función del tiempo y la velocidad $v_C$. El resultado que obtengo (si no me he equivocado) es

$<br /> \displaystyle \vec v_P(t)=v_C\left[1+\frac{r}{R}sen\left(\frac{v_C}{R}t\right)\right]\cdot\vec i + v_C\frac{r}{R}cos\left(\frac{v_C}{R}t\right)\cdot\vec j<br />$

Se trata de la velocidad de un punto que describe una cicloide, acortada si r=CQ, normal si r=R y alargada si r=CA.


(cicloide normal)


(cicloide acortada)


(cicloide alargada).

El método para conocer las hodógrafas lo tienes en este post:

http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=7600

Como me parece un problema interesantísimo, te pongo a modo de muestra las 3 hodógrafas que te piden (son circunferencias en este caso) y un ejemplo de las curvas para la velocidad del punto y sus componentes en función del tiempo cuando r=R.



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En cuanto al segundo problema, yo creo que la soga tira del cilindro en un punto situado en su periferia, como si fuera un yo-yo tumbado. La tensión que tira de él le hace girar (pues está aplicada fuera del centro de masas) y también lo desplaza, como cualquier fuerza aplicada sobre un cuerpo y en el caso de que no haya ninguna otra fuerza que lo impida (aquí ni siquiera hay rozamiento).

Saludos

[Maxi232]

Re: Cinématica y Dinámica Cuerpo Rígido

Gracias, el problema 1 ya me quedo claro pero para el segundo problema, como plantearias el torque de la tension? osea depende donde este aplicada puede hacerlo girar en un sentido o en el otro, pero no especifican.

Saludos

[electr0n]

Re: Cinématica y Dinámica Cuerpo Rígido

Pues es verdad que el sentido de giro depende de dónde apliques la tensión, pero al final el resultado de las aceleraciones (en valor absoluto) va a ser el mismo tanto si pones la tensión en el extremo superior como en el inferior. Si imaginamos el cilindro como un yo-yo, sólo queda la opción de estirar en la parte superior o la inferior; y si cupiera la posibilidad de aplicarla de manera constante en otro punto, por fuerza tendría que girar el punto de aplicación hasta que se alineara con la cuerda y el problema se complicaría un poco.

Yo creo que se refiere a un torque típico de la forma M=RT.

Saludos

[Maxi232]

Re: Cinématica y Dinámica Cuerpo Rígido

y como tengo que plantear el vinculo entre la aceleracion del cuerpo 2 y el otro cuerpo? El punto de contacto entre la soga y el cuerpo que gira tengo que considerarlo que tiene velocidad 0? osea que no desliza y la soga se va desenrollando?

[electr0n]

Re: Cinématica y Dinámica Cuerpo Rígido

y como tengo que plantear el vinculo entre la aceleracion del cuerpo 2 y el otro cuerpo? El punto de contacto entre la soga y el cuerpo que gira tengo que considerarlo que tiene velocidad 0? osea que no desliza y la soga se va desenrollando?

El punto con velocidad 0 será el diametralmente opuesto al punto de aplicación de la tensión. Según lo veo, al desenrrollarse, cada fragmento de cuerda $\Delta x$ estirado por $M_2$ debe ser por fuerza la longitud de arco $\Delta\varphi$ girada por el disco, de manera que $\Delta x=R\Delta\varphi$, siempre y cuando no haya rozamiento. Esto al fin y al cabo equivale a la condición $a=\alpha R$, donde $a$ es la aceleración tangencial de la periferia del cilindro y la aceleración lineal de $M_2$ al bajar.



Sabido esto, el vínculo que dices aparece él solito si planteamos las tres ecuaciones del movimiento:

$T=M_1a_{CM}$

$M_2g-T=M_1a$

$TR=I\alpha$

siendo $a_{CM}$ es la aceleración del cilindro al ser arrastrado.

De las dos últimas se obtiene

$\displaystyle a=\frac{2M_2g}{2M_2+M_1}$

$\displaystyle T=\frac{M_1M_2g}{2M_2+M_1}$

$\displaystyle \alpha=\frac{2M_2g}{(2M_2+M_1)R}$

Y con la primera calculamos la otra aceleración:

$\displaystyle a_{CM}=\frac{M_2g}{2M_2+M_1}=\frac{a}{2}$

Como vemos, aquí no se cumple la condición de rodadura sin deslizamiento $a_{CM}=\alpha R$ porque la situación es distinta, ya que el cuerpo no rueda sino que se arrastra.

Estoy muy cansado y espero no haber metido la pata... pero a ver qué os parece.

Saludos